PDF-версии: 
При каких значениях параметра b уравнение 
имеет единственное решение?
Решение. Решим задачу двумя способами.
Ⅰ способ. Данное уравнение
равносильно системе
Уравнение
имеет корни, если его дискриминант неотрицателен, тогда 
При 
уравнение (2), а значит, и уравнение (1) не имеет корней. При 
уравнение (2) имеет единственный корень 
который удовлетворяет системе, а значит, и уравнению (1). При 
уравнение (2) имеет два корня. Нас устроит только тот случай, когда один из этих корней 
а другой 
Другими словами, либо число −3 лежит между корнями, либо 
а
В случае, если 
значение квадратного трехчлена 
в точке 
отрицательно (поскольку ветви соответствующей параболы при любом b направлены вверх), т. е. 
тогда 
В случае, если 
получим 
т. е. 
где корнями уравнения являются 
и 
оба этих решения удовлетворяют системе, значит, уравнение (1) имеет два корня, и этот случай не подходит.
Ответ: 
Ⅱ способ. Уравнение (1) может быть рассмотрено как равенство значений двух функций 
и 
График функции 
прямая (см. рис.). График функции 
— это ветвь параболы 
с вершиной на оси Ox 
Если вершина параболы лежит левее точки 
т. е. 
то точка пересечения всего одна; если вершина находится в точке 
то имеется две точки пересечения (см. рис.).
Далее, при уменьшении значений параметра b точек пересечения будет две до тех пор, пока прямая не станет касательной к графику функции 
Угловой коэффициент наклона прямой равен 1, т. е. для абсциссы 
точки касания необходимо 
тогда
Эта точка должна лежать и на прямой, и на ветви параболы, т. е.
При точка пересечения также единственна. Далее, при точек пересечения графиков не будет.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |