PDF-версии: 
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями 
и 
Решение. Очевидно, что линии 
и 
пересекаются в начале координат. Линии и 
пересекаются в точке 
как показано на рисунке. Аналитически этот факт обосновывается следующим образом:
Пусть 
тогда 
Замечаем, что −1 корень последнего уравнения. Отсюда
Квадратный трехчлен 
не имеет корней. Значит, 
единственный корень уравнения (1). Таким образом, 
получим 
и 
Найдем, где пересекаются линии и 
Составим уравнение 
и приведем его к виду 
Пусть 
тогда 
Это уравнение имеет единственный корень 
оказательство аналогично предыдущему. Отсюда 
и 
Значит, единственная точка пересечения линий и 
это точка 
Вычислим площадь S заданной фигуры (на рис. она заштрихована) как сумму площадей S1 и S2 двух фигур. Первая фигура ограничена линиями 
и 
Это фигура MKLN. Ее площадь равна:
Вторая фигура — треугольник KMO, у которого 
причем OP перпендикулярна MK, Тогда 
и 
Ответ: 12.
Замечания.
1) Некоторые учащиеся догадались провести на чертеже через точку L прямую NK и заметили симметрию, а следовательно, и равенство фигур, заштрихованных на рисунке. Искомую площадь S они вычислили как площадь треугольника NKO, т. е. как сумму площадей треугольников NLO и KLO. Такие учащиеся обошлись без интеграла, что только должно поощряться.
2) Укажем другой способ нахождения точек пересечения линий и Находим графически точку 
и затем аналитически подтверждаем, что она удовлетворяет уравнению каждой линии. Теперь остается заметить, что эти линии пересекаются один раз, так как функция возрастает, а убывает.
3) Укажем также другой (менее рациональный) способ нахождения точек пересечения линий и Запишем уравнение
и выполним его преобразования:
Уравнение 
корней не имеет, т. к. 
Следовательно, уравнение (2) имеет единственное 
4) Учащийся совершенно не обязан обосновывать в данном случае, что искомый корень единствен, так как фигура, площадь которой мы ищем, видна из чертежа (верхний и нижний рис.).
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |