PDF-версии: 
Найдите максимумы функции 
на интервале 
Решение. Решим задачу двумя способами.
Ⅰ способ. Приведем данную функцию к виду 
или 
Пусть 
Задачу можно переформулировать следующим образом: «Найти максимумы функции 
на интервале 
».
Вычислим производную новой функции 
Критические точки 
Обе эти точки принадлежат интервалу 
поскольку 
Из таблицы монотонности на рисунке видно, что на множестве функция и имеет единственную точку максимума
Отсюда находим максимум функции u:
Ответ: 
Ⅱ способ. Производная заданной функции 
На заданном интервале 
поэтому могут быть только две критические точки
Из неравенств 
и 
а также из того, что функция 
монотонно убывает, следует, что 
и 
Таким образом, установлено следующее: обе критические точки находятся на интервале
Заполним таблицу монотонности (см. рис.). Из нее видно, что x1 — единственная точка максимума на заданном интервале. Найдем максимум функции:
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |