РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 3460

При каких значениях параметра b наименьшее значение функции $y=e в степени левая круглая скобка x минус b правая круглая скобка минус x$ равно −3?

Спрятать решение

Решение.

Производная функции $y'=e в степени левая круглая скобка x минус b правая круглая скобка минус 1.$ В точке минимума производная равна нулю, а значение функции $y= минус 3,$ т. е. имеет место система уравнений

$система выражений e в степени левая круглая скобка x минус b правая круглая скобка минус 1=0,e в степени левая круглая скобка x минус b правая круглая скобка минус x= минус 3. конец системы .$

Вычтем из первого уравнения второе: $x минус 1=3,$ откуда $x=4.$ Подставим это значение х в первое уравнение системы: $e в степени левая круглая скобка 4 минус b правая круглая скобка =1,$ тогда $4 минус b=0$ т. е. $b=4.$ Итак, получена функция $y=e в степени левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус x.$ Теперь необходимо проверить, действительно ли минимальное значение функции равно −3. Найдем производную этой функции $y'=e в степени левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка минус 1$ и установим, что функция имеет единственную критическую точку $x=4.$ Нетрудно подсчитать, что $y' левая круглая скобка 3 правая круглая скобка =e в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка минус 1 меньше 0$ и $y' левая круглая скобка 5 правая круглая скобка =e минус 1 больше 0.$ Из рисунка видно, что в точке $x=4$ функция принимает минимальное значение $y левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =1 минус 4= минус 3.$ Таким образом, условиям задачи удовлетворяет единственное значение параметра $b=4.$

Ответ: $b=4.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 3454

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1994 год, работа 3, вариант 2

? Классификатор: Исследование функций, Функции, зависящие от параметра

Сложность: 5 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь