Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3401
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство  дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 5x конец ар­гу­мен­та минус 4x плюс 6, зна­ме­на­тель: x минус 2 конец дроби мень­ше или равно минус 2.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­пи­шем дан­ное не­ра­вен­ство в виде  дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 5x конец ар­гу­мен­та минус 2x плюс 2, зна­ме­на­тель: x минус 2 конец дроби мень­ше или равно 0. Пусть f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 5x конец ар­гу­мен­та минус 2x плюс 2, зна­ме­на­тель: x минус 2 конец дроби . Об­ла­стью опре­де­ле­ния функ­ции f(x) яв­ля­ет­ся мно­же­ство  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 5 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . Най­дем на этом мно­же­ство все точки, в ко­то­рых функ­ция f(x) может ме­нять знак. По­ми­мо точки 2, в ко­то­рой f(x) не опре­де­ле­на,  — это точки, опре­де­ля­е­мые из урав­не­ния f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0. Число 2 не яв­ля­ет­ся кор­нем чис­ли­те­ля дроби, ко­то­рой за­да­на функ­ция f(x), по­это­му урав­не­ние

 дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 5x конец ар­гу­мен­та минус 2x плюс 2, зна­ме­на­тель: x минус 2 конец дроби =0

рав­но­силь­но та­ко­му

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 5x конец ар­гу­мен­та =2x минус 2 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те плюс 5x= левая круг­лая скоб­ка 2x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ,x боль­ше или равно 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 3x в квад­ра­те минус 13x плюс 4=0,x боль­ше или равно 1. конец си­сте­мы .

Эта си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние x=4.

Таким об­ра­зом, в каж­дом из че­ты­рех про­ме­жут­ков:  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 5 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ,  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка ,  левая круг­лая скоб­ка 2; 4 пра­вая круг­лая скоб­ка и  левая круг­лая скоб­ка 4; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка функ­ция f(x) при­ни­ма­ет зна­че­ния опре­де­лен­но­го знака. Опре­де­лим знак f(x) на каж­дом из этих про­ме­жут­ков: f левая круг­лая скоб­ка минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, f левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 и f левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0. Окон­ча­тель­но (см. рис.) за­пи­шем ре­ше­ния не­ра­вен­ства f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0: x мень­ше или равно минус 5, 0 мень­ше или равно x мень­ше 2 и x боль­ше или равно 4.

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 5 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 4; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3395

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1993 год, ра­бо­та 9, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ир­ра­ци­о­наль­ные не­ра­вен­ства
?
Сложность: 6 из 10