РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 3389

Для каждого b найдите все решения неравенства $левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x минус b конец аргумента меньше или равно 0.$

Спрятать решение

Решение.

Приведем решение, отличающееся от рассмотренных в аналогичной задаче Ⅰ варианта. Будем искать решения исходного неравенства как объединение решений уравнения

$левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x минус b конец аргумента =0 \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

и строгого неравенства

$левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x минус b конец аргумента меньше 0. \qquad левая круглая скобка 2 правая круглая скобка$

Для уравнения имеем: произведение двух множителей равно нулю, если один из них равен нулю, а другой при этом существует, т. е. если

$совокупность выражений система выражений 5 минус x=0,x больше или равно b, конец системы . x=b конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x=5,b меньше или равно 5, конец системы . x=b конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=5 и x=b при b меньше или равно 5, x=b приb больше 5. конец совокупности .$

Последнее условие будет смотреться естественней в таком виде: $x=5$ и $x=b$ при $b меньше 5;$ $x=b$ при $b больше или равно 5.$ Для неравенства (2) запишем равносильную ему систему:

$система выражений x минус b больше 0,5 минус x меньше 0 конец системы . равносильно система выражений x больше b,x больше 5. конец системы .$

Три возможные ситуации отражены на рисунке: $x больше 5$ при $b меньше или равно 5$ и $x больше b$ при $b больше 5.$

$b меньше 5$

$b=5$

$b больше 5$

Объединяя решения уравнения (1) и неравенства (2), получим: при $b меньше 5,$ имеем $x=5,$ $x=b$ и $x больше 5,$ т. е. $x=b$ и $x больше или равно 5;$ при $b=5,$ имеем $x=5$ и $x больше 5,$ т. е. $x больше или равно 5;$ при $b больше 5,$ имеем $x=b$ и $x больше b,$ т. е. $x больше или равно b.$ Заметим, что случаи $b=5$ и $b больше 5$ могут быть, объединены.

Ответ: $x=b$ и $x больше или равно 5$ при $b меньше 5;$ $x больше или равно b$ при $b больше или равно 5.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 3383

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1993 год, работа 8, вариант 2

? Классификатор: Задачи с параметром

Сложность: 6 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь