PDF-версии: 
Какие целые значения принимает функция 
на промежутке 
Решение. 1 способ. Заданная функция непрерывна на промежутке 
Найдя наибольшее и наименьшее значение функции на этом промежутке (рассмотрев при этом и точку − 0,5), можно будет ответить на вопрос задачи. Заданная функция дифференцируема при 
Производная равна 0, если
Тогда 
— единственная критическая точка на рассматриваемом промежутке. Поскольку 
а 
то x0 — точка максимума. Наибольшее значение функции y(x) достигается в точке 
и равно
Наименьшее значение функции y(x) на промежутке 
равна нулю. Действительно 
а для всех x из рассматриваемого промежутка 
Поскольку и 
наименьшее значение заданной функции на всем промежутке 
равна нулю. Таким образом, на рассматриваемом промежутке функция принимает все действительные значения от 0 до 
включительно; среди них — два целых: 0 и 1.
Ответ: 0 и 1.
Замечание.
Некоторым читателям такое решение наверняка покажется «корявым». Здесь необходимо сделать ряд замечаний.
1) Использовать стандартный алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке, здесь нельзя (функция не является непрерывной в точке x = − 0,5).
2) Учащиеся, знакомые со свойством односторонней непрерывности в точке (этот материал отсутствует в учебнике), смогут привести задачу к виду, когда использование вышеупомянутого алгоритма допустимо (функция непрерывна на
3) Можно использовать стандартный алгоритм для функции 
непрерывной, но недифференцируемой в точке − 0,5 и совпадающей с исходной при 
2 способ. По условию должно выполняться равенство
Обозначим 
откуда 
Если 
то t может принимать любые значения из промежутка [0 ; 1]. Задача сводится к определению всех целых значений, которые может принимать функция 
на промежутке [0 ;1]. Функция φ(t) непрерывна и дифференцируема во всех точка промежутка [0 ;1]
Единственная критическая точка функции φ(t) на [0 ;1] определяется из условия
где 
Поскольку наибольшее и наименьшее значения на отрезке непрерывная функция может принимать либо на концах отрезка, либо в своих критических точках, лежащих на отрезке, то
Отсюда следует, что φ(t) на промежутке [0 ;1] принимает два целых значения: 0 и 1. Таким образом, функция 
на промежутке 
принимает два целых значения: 0 и 1.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |