PDF-версии: 
Найдите ту первообразную функции 
график которой касается прямой 
Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми 
и 
Решение. Первообразные функции f(x) определяются как
Поскольку прямая является касательной к параболе 
уравнение 
должно иметь единственный корень. Приведем это уравнение к стандартному виду: 
Квадратное уравнение имеет единственный корень, когда его дискриминант D равен нулю. В данном случае 
Очевидно, что 
когда 
Таким образом, искомая первообразная имеет вид: 
Вычислим площадь фигуры, ограниченном линиями 
и Площадь заданной фигуры удобнее всего вычислять как разность площадей криволинейной трапеции ABC и треугольника DBC (см. рис.). Найдем координаты точек B и D. В точке B парабола 
пересекается с прямой 
т. е. выполняется: 
Отсюда 
и тогда 
Значит, точка B имеет координаты 
Первую координату точки D найдем из условия, что прямая BD пересекает ось абсцисс в точке D , т. е. 
и 
тогда 
и 
Найдем:
и
Искомая площадь равна 
Ответ: первообразная площадь 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
площадь площадь