Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3256
i

При каких зна­че­ни­ях b пря­мая y=b пе­ре­се­ка­ет гра­фик функ­ции y=x в кубе плюс 3x в квад­ра­те более чем в двух раз­лич­ных точ­ках?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пе­ре­фор­му­ли­ру­ем во­прос: «При каких зна­че­ни­ях b урав­не­ние x в кубе плюс 3x в квад­ра­те =b имеет более двух раз­лич­ных кор­ней?» Рас­смот­рим функ­цию f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в кубе плюс 3x в квад­ра­те минус b и ее про­из­вод­ную f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3x в квад­ра­те плюс 6x. Оче­вид­но, что про­из­вод­ная не­пре­рыв­на и равна нулю при x=0 и при x= минус 2. От­ме­тим эти числа точ­ка­ми на ко­ор­ди­нат­ной пря­мой и ис­сле­ду­ем функ­цию f(x) на экс­тре­мум (см. рис.). При x= минус 2 функ­ция f(x) при­ни­ма­ет мак­си­маль­ное зна­че­ние, при x=0  — ми­ни­маль­ное. По­сколь­ку функ­ция f(x) опре­де­ле­на на всей чис­ло­вой пря­мой, для вы­пол­не­ния усло­вия за­да­чи не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы имела место си­сте­ма не­ра­венств:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний f левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0,f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, конец си­сте­мы . т. е. си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе плюс 3 левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус b боль­ше 0, минус b мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но 0 мень­ше b мень­ше 4.

 

Ответ: при 0 мень­ше b мень­ше 4

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3250

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1992 год, ра­бо­та 7, ва­ри­ант 2
? Классификатор: За­да­чи с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 5 из 10