Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3243
i

Сколь­ко кор­ней имеет урав­не­ние  ко­си­нус в квад­ра­те x плюс синус x= ко­си­нус 2x плюс 2 на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 50 Пи ; 50 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

При­ве­дем ис­ход­ное урав­не­ние к виду 1 минус синус в квад­ра­те x плюс синус x=1 минус 2 синус в квад­ра­те x плюс 2. После оче­вид­ных пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­ча­ем  синус в квад­ра­те x плюс синус x минус 2=0, или  левая круг­лая скоб­ка синус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка синус x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0. По­след­нее урав­не­ние поз­во­ля­ет со­ста­вить со­во­куп­ность урав­не­ний

 си­сте­ма вы­ра­же­ний синус x=1, синус x= минус 2. конец си­сте­мы .

Вто­рое урав­не­ние со­во­куп­но­сти не имеет ре­ше­ний. Кор­ня­ми пер­во­го урав­не­ния яв­ля­ют­ся x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи m, где m при­над­ле­жит Z . Най­дем все целые зна­че­ния m, для ко­то­рых вы­пол­ня­ют­ся не­ра­вен­ства  минус 50 Пи мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи m мень­ше или равно 50 Пи . После пре­об­ра­зо­ва­ний этих не­ра­венств по­лу­ча­ем  минус 50 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 m мень­ше или равно 50, или  минус дробь: чис­ли­тель: 101, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно m мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 99, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Под­счи­та­ем число це­ло­чис­лен­ных зна­че­ний m, со­дер­жа­щих­ся в про­ме­жут­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 101, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 99, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Их будет: 25 от­ри­ца­тель­ных целых чисел (от −25 до −1), ноль и 24 по­ло­жи­тель­ных целых числа (от 1 до 24)  — всего 50.

 

Ответ: 50 кор­ней.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3237

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1992 год, ра­бо­та 6, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 4 из 10