РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 3237

Сколько корней имеет уравнение $косинус 2 x минус косинус x=2 минус синус в квадрате x$ на отрезке $левая квадратная скобка минус 100 Пи ; 100 Пи правая квадратная скобка ?$

Спрятать решение

Решение.

Преобразовав исходное уравнение, получим:

$2 косинус в квадрате x минус 1 минус косинус x=2 минус левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате x правая круглая скобка равносильно косинус в квадрате x минус косинус x минус 2=0 равносильно левая круглая скобка косинус x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x минус 2 правая круглая скобка =0.$ $2 косинус в квадрате x минус 1 минус косинус x=2 минус левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно косинус в квадрате x минус косинус x минус 2=0 равносильно левая круглая скобка косинус x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка косинус x минус 2 правая круглая скобка =0.$

Из последнего уравнения видно, что исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

$совокупность выражений косинус x= минус 1, косинус x=2. конец совокупности .$

Второе уравнение совокупности не имеет решений, а решения первого уравнения $x= Пи плюс 2 Пи n,$ где $n принадлежит Z .$ На каждом периоде функции $y= косинус x,$ равном $2 Пи ,$ уравнение $косинус x= минус 1$ имеет только один корень. Заданный отрезок состоит из 100 интервалов длины $2 Пи .$ Ни одно из чисел $100 Пи$ и $минус 100 Пи ,$ служащих границами заданного отрезка. Не является решением уравнения, поэтому исходное уравнение имеет 100 корней на отрезке $левая квадратная скобка минус 100 Пи ; 100 Пи правая квадратная скобка .$

Ответ: 100 корней.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 3243

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1992 год, работа 6, вариант 1

? Классификатор: Тригонометрические уравнения

Сложность: 4 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь