Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3227

Найдите критические точки функции y=2 корень из 3 синус x минус косинус 2x и укажите среди них одну из точек максимума.

Спрятать решение

Решение.

Для того чтобы найти критические точки функции, найдем ее производную y'=2 корень из 3 косинус x плюс 2 синус 2x. Производная определена при всех при всех действительных значениях x. Решим уравнение y'=0, т. е.

2 корень из 3 косинус x плюс 2 синус 2x=0 равносильно корень из 3 косинус x плюс 2 синус x косинус x=0 равносильно косинус x( корень из 3 плюс 2 синус x)=0 равносильно

 равносильно совокупность выражений косинус x=0, синус x= минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n,x=( минус 1) в степени (k плюс 1) дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k, n принадлежит Z .

Для нахождения точки максимума выберем среди критических точек такую, в которой y' меняет знак с плюса на минус. Рассмотрим функцию на промежутке (0; 2 Пи ) (см. рис.).

При x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби , производная y' больше 0, при x= Пи , производная y' меньше 0. Таким образом, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби  — точка максимума.

 

Ответ: критические точки: \left \ дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n; ( минус 1) в степени (k плюс 1) дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k : k, n принадлежит Z \; одна из точек максимума x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .

 

Замечание. Для нахождения точки максимума можно использовать и такой прием. Производная y'=2 косинус ( корень из 3 плюс 2 синус x) меняет знак в каждой критической точке. Выбрав две соседние критические точки, например x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби и x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби , определим знак производной на промежутке  левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка . Для точек этого промежутка  косинус x больше 0, тогда 3 плюс 2 синус x меньше 0, следовательно, производная отрицательна, значит, исследуемая функция убывает, т. е. x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби  — точка максимума.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3233

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1992 год, работа 5, вариант 1
? Классификатор: Исследование функций
?
Сложность: 6 из 10