Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3227
i

Най­ди­те кри­ти­че­ские точки функ­ции y=2 ко­рень из 3 синус x минус ко­си­нус 2x и ука­жи­те среди них одну из точек мак­си­му­ма.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Для того чтобы найти кри­ти­че­ские точки функ­ции, най­дем ее про­из­вод­ную y'=2 ко­рень из 3 ко­си­нус x плюс 2 синус 2x. Про­из­вод­ная опре­де­ле­на при всех при всех дей­стви­тель­ных зна­че­ни­ях x. Решим урав­не­ние y'=0, т. е.

2 ко­рень из 3 ко­си­нус x плюс 2 синус 2x=0 рав­но­силь­но ко­рень из 3 ко­си­нус x плюс 2 синус x ко­си­нус x=0 рав­но­силь­но ко­си­нус x левая круг­лая скоб­ка ко­рень из 3 плюс 2 синус x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x=0, синус x= минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n,x= левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k, n при­над­ле­жит Z .

Для на­хож­де­ния точки мак­си­му­ма вы­бе­рем среди кри­ти­че­ских точек такую, в ко­то­рой y' ме­ня­ет знак с плюса на минус. Рас­смот­рим функ­цию на про­ме­жут­ке  левая круг­лая скоб­ка 0; 2 Пи пра­вая круг­лая скоб­ка (см. рис.).

При x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , про­из­вод­ная y' боль­ше 0, при x= Пи , про­из­вод­ная y' мень­ше 0. Таким об­ра­зом, x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби   — точка мак­си­му­ма.

 

Ответ: кри­ти­че­ские точки:  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n; левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка k плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k : k, n при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; одна из точек мак­си­му­ма x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

За­ме­ча­ние. Для на­хож­де­ния точки мак­си­му­ма можно ис­поль­зо­вать и такой прием. Про­из­вод­ная y'=2 ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка ко­рень из 3 плюс 2 синус x пра­вая круг­лая скоб­ка ме­ня­ет знак в каж­дой кри­ти­че­ской точке. Вы­брав две со­сед­ние кри­ти­че­ские точки, на­при­мер x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , опре­де­лим знак про­из­вод­ной на про­ме­жут­ке  левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . Для точек этого про­ме­жут­ка  ко­си­нус x боль­ше 0, тогда 3 плюс 2 синус x мень­ше 0, сле­до­ва­тель­но, про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на, зна­чит, ис­сле­ду­е­мая функ­ция убы­ва­ет, т. е. x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби   — точка мак­си­му­ма.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3233

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1992 год, ра­бо­та 5, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций
?
Сложность: 6 из 10