PDF-версии: 
Найдите критические точки функции 
и укажите среди них одну из точек максимума.
Решение. Для того чтобы найти критические точки функции, найдем ее производную 
Производная определена при всех при всех действительных значениях x. Решим уравнение 
т. е.
Для нахождения точки максимума выберем среди критических точек такую, в которой 
меняет знак с плюса на минус. Рассмотрим функцию на промежутке 
(см. рис.).
При 
производная 
при 
производная 
Таким образом, 
— точка максимума.
Ответ: критические точки: 
одна из точек максимума 
Замечание. Для нахождения точки максимума можно использовать и такой прием. Производная 
меняет знак в каждой критической точке. Выбрав две соседние критические точки, например 
и 
определим знак производной на промежутке 
Для точек этого промежутка 
тогда 
следовательно, производная отрицательна, значит, исследуемая функция убывает, т. е. —
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
одна из точек максимума одна из точек максимума