Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3220

В каком отношении делится площадь четырёхугольника OBCD, где O левая круглая скобка 0; 0 правая круглая скобка , B левая круглая скобка 1; 2 правая круглая скобка , C левая круглая скобка 4; 2 правая круглая скобка , D левая круглая скобка 4; 0 правая круглая скобка , параболой y= левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка в квадрате плюс 1?

Спрятать решение

Решение.

Изобразим четырехугольник OBCD и параболу на координатной плоскости (см. рис.); OBCD — трапеция, поэтому S_OBCD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка OD плюс DC правая круглая скобка h_OBCD или S_OBCD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 4 плюс 3 правая круглая скобка умножить на 2=7. Найдем абсциссы точек пересечения параболы и отрезка BC, лежащего на прямой y=2. Найдем

 левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка в квадрате плюс 1=2 равносильно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате =1 равносильно совокупность выражений x минус 2=1,x минус 2= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=3,x=1. конец совокупности .

Таким образом, парабола и отрезок BC пересекаются в точках  левая круглая скобка 3; 2 правая круглая скобка и  левая круглая скобка 1; 2 правая круглая скобка . Вычислим площадь S заштрихованной фигуры. Так как при 1 меньше или равно x меньше или равно 3, получим  левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка в квадрате плюс 1 меньше или равно 2, то

 S = интеграл от 1 до 3 левая круглая скобка 2 минус левая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка в квадрате плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка dx = интеграл от 1 до 3 левая круглая скобка 1 минус левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате ​ правая круглая скобка dx = интеграл от 1 до 3 левая круглая скобка минус 3 плюс 4x минус x в квадрате ​ правая круглая скобка dx = левая круглая скобка минус 3x плюс 2x в квадрате минус дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка | от 1 до 3 = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .

Площадь S1 незаштрихованной части трапеции равна S_1=S_OBCD минус S=7 минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 17, знаменатель: 3 конец дроби . Искомое отношение  дробь: числитель: S_1, знаменатель: S конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 17, знаменатель: 3 конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 17, знаменатель: 4 конец дроби .

Ответ:  дробь: числитель: 17, знаменатель: 4 конец дроби . (Другие варианты ответа: 17 : 4, или \left дробь: числитель: 4, знаменатель: 17 конец дроби , или 4 : 17).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3214

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1992 год, работа 4, вариант 2
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей
?
Сложность: 5 из 10