Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3220
i

В каком от­но­ше­нии де­лит­ся пло­щадь четырёхуголь­ни­ка OBCD, где O левая круг­лая скоб­ка 0; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , B левая круг­лая скоб­ка 1; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , C левая круг­лая скоб­ка 4; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , D левая круг­лая скоб­ка 4; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , па­ра­бо­лой y= левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 1?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Изоб­ра­зим че­ты­рех­уголь­ник OBCD и па­ра­бо­лу на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти (см. рис.); OBCD  — тра­пе­ция, по­это­му S_OBCD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка OD плюс DC пра­вая круг­лая скоб­ка h_OBCD или S_OBCD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 4 плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 2=7. Най­дем абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния па­ра­бо­лы и от­рез­ка BC, ле­жа­ще­го на пря­мой y=2. Най­дем

 левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 1=2 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =1 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x минус 2=1,x минус 2= минус 1 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=3,x=1. конец со­во­куп­но­сти .

Таким об­ра­зом, па­ра­бо­ла и от­ре­зок BC пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках  левая круг­лая скоб­ка 3; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка и  левая круг­лая скоб­ка 1; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка . Вы­чис­лим пло­щадь S за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры. Так как при 1 мень­ше или равно x мень­ше или равно 3, по­лу­чим  левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 1 мень­ше или равно 2, то

 S = ин­те­грал пре­де­лы: от 1 до 3, левая круг­лая скоб­ка 2 минус левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx = ин­те­грал пре­де­лы: от 1 до 3, левая круг­лая скоб­ка 1 минус левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ​ пра­вая круг­лая скоб­ка dx =
= ин­те­грал пре­де­лы: от 1 до 3, левая круг­лая скоб­ка минус 3 плюс 4x минус x в квад­ра­те ​ пра­вая круг­лая скоб­ка dx = левая круг­лая скоб­ка минус 3x плюс 2x в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от 1 до 3, = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Пло­щадь S1 не­за­штри­хо­ван­ной части тра­пе­ции равна S_1=S_OBCD минус S=7 минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Ис­ко­мое от­но­ше­ние  дробь: чис­ли­тель: S_1, зна­ме­на­тель: S конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . (Дру­гие ва­ри­ан­ты от­ве­та: 17 : 4, или \left дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 17 конец дроби , или 4 : 17).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3214

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1992 год, ра­бо­та 4, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 5 из 10