Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3148

Функция F является первообразной для функции f(x)=2x минус 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций f и F, зная, что график функции F проходит через точку A (0; 4).

Спрятать решение

Решение.

Любая первообразная функции f(x)=2x минус 4 имеет вид F(x)=x в квадрате минус 4x плюс C, при этом F(0)=0 в квадрате минус 4 умножить на 0 плюс C=C, откуда C=4.

Найдем точки пересечения графиков f(x) и F(x), решив уравнение 2x минус 4=x в квадрате минус 4x плюс 4, то есть x в квадрате минус 6x плюс 8=0, откуда x=2 или x=4.

Выбирая произвольное число на промежутке (2;4), например x=3, получаем

f(3)=6 минус 4=2 больше 1=9 минус 12 плюс 4=F(2),

поэтому график функции y=f(x) проходит выше графика функции y=F(x). Тогда площадь равна

S= принадлежит t\limits_2 в степени 4 (2x минус 4 минус (x в квадрате минус 4x плюс 4))dx= принадлежит t\limits_2 в степени 4 (2x минус 4 минус x в квадрате плюс 4x минус 4)dx= принадлежит t\limits_2 в степени 4 ( минус x в квадрате плюс 6x минус 8)dx=

= \dvpod минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на x в кубе плюс 3x в квадрате минус 8x24= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 64 плюс 3 умножить на 16 минус 8 умножить на 4 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 8 минус 3 умножить на 4 плюс 8 умножить на 2=

= минус дробь: числитель: 64, знаменатель: 3 конец дроби плюс 48 минус 32 плюс дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби минус 12 плюс 16= минус дробь: числитель: 56, знаменатель: 3 конец дроби плюс 16 плюс 4=20 минус дробь: числитель: 56, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3142

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РСФСР, 1991 год, работа 8, вариант 2
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей
?
Сложность: 5 из 10