Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3147

Покажите, что касательные, проведённые к графику функции y= дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x минус 2 конец дроби в точках пересечения его с осями координат, параллельны между собой.

Спрятать решение

Решение.

Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Вычислим производную.

 левая круглая скобка дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x минус 2 конец дроби правая круглая скобка '= дробь: числитель: (x минус 4)'(x минус 2) минус (x минус 2)'(x минус 4), знаменатель: (x минус 2) в квадрате конец дроби = дробь: числитель: (x минус 2) минус (x минус 4), знаменатель: (x минус 2) в квадрате конец дроби = дробь: числитель: x минус 2 минус x плюс 4, знаменатель: (x минус 2) в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: (x минус 2) в квадрате конец дроби .

Касательные будут параллельны, если их угловые коэффициенты будут равны. Найдем точки пересечения графика с осями координат

При x=0, функция принимает значение y= дробь: числитель: 0 минус 4, знаменатель: 0 минус 2 конец дроби =2, производная равна y'(0)= дробь: числитель: 2, знаменатель: (0 минус 2) в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Если y=0, то  дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x минус 2 конец дроби =0 равносильно x=4, производная равна y'(4)= дробь: числитель: 2, знаменатель: (4 минус 2) в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Утверждение доказано.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3141

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РСФСР, 1991 год, работа 8, вариант 2
? Классификатор: Касательная к графику функции
?
Сложность: 4 из 10