Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3125
i

Сколь­ко кор­ней имеет урав­не­ние x в квад­ра­те e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =a при a боль­ше дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: e конец дроби в квад­ра­те .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ис­сле­ду­ем функ­цию f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в квад­ра­те e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка . Возь­мем ее про­из­вод­ную:

 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка '= левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка 'e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка '=2xe в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x в квад­ра­те e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус x' пра­вая круг­лая скоб­ка =
=2xe в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x в квад­ра­те e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = 2xe в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус x в квад­ра­те e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =xe в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка .

Зна­чит, знак про­из­вод­ной сов­па­да­ет со зна­ком x левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка , ко­то­рое от­ри­ца­тель­но при x мень­ше 0 или x боль­ше 2 и по­ло­жи­тель­но при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0;2 пра­вая круг­лая скоб­ка . Зна­чит, функ­ция убы­ва­ет при  при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; 0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 2; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка и воз­рас­та­ет при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка По­это­му при x=0 у функ­ции ми­ни­мум, f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =0, а при x=2 у функ­ции мак­си­мум, f левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в квад­ра­те e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: e в квад­ра­те конец дроби .

Далее, по пра­ви­лу Ло­пи­та­ля, \lim\limits_xarrow минус бес­ко­неч­ность x в квад­ра­те e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка = плюс бес­ко­неч­ность и

\lim\limits_xarrow минус бес­ко­неч­ность x в квад­ра­те e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка = \lim\limits_xarrow плюс бес­ко­неч­ность дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: e в сте­пе­ни x конец дроби =\lim\limits_xarrow плюс бес­ко­неч­ность дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка ', зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка e в сте­пе­ни x пра­вая круг­лая скоб­ка ' конец дроби = \lim\limits_xarrow плюс бес­ко­неч­ность дробь: чис­ли­тель: 2x, зна­ме­на­тель: e в сте­пе­ни x конец дроби =\lim\limits_xarrow плюс бес­ко­неч­ность дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка ', зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка e в сте­пе­ни x пра­вая круг­лая скоб­ка ' конец дроби = \lim\limits_xarrow плюс бес­ко­неч­ность дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: e в сте­пе­ни x конец дроби =0.

Итак, функ­ция при­ни­ма­ет все зна­че­ния из про­ме­жут­ка  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: e в квад­ра­те конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка один раз  — на пер­вом про­ме­жут­ке убы­ва­ния. Сле­до­ва­тель­но, урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =a при a боль­ше дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: e в квад­ра­те конец дроби имеет один ко­рень.

 

Ответ: 1 ко­рень.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3119

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РСФСР, 1991 год, ра­бо­та 6, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 6 из 10