Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3038

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y= косинус x и y= дробь: числитель: 2 корень из (2) |x|, знаменатель: Пи конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

Обе функции четны, область симметрична относительно оси ординат, поэтому можно искать только площадь при x больше или равно 0, а потом удвоить ее. Решим уравнение  косинус x= дробь: числитель: 2 корень из (2) x, знаменатель: Пи конец дроби .

На промежутке  левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка левая часть убывает, а правая возрастает, поэтому может быть не более одного корня. Один корень можно угадать, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . При x больше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби получим  дробь: числитель: 2 корень из (2) x, знаменатель: Пи конец дроби больше дробь: числитель: 2 корень из (2) , знаменатель: 2 конец дроби = корень из (2) больше 1 больше или равно косинус x, поэтому больше корней нет.

На промежутке  левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка график функции y= косинус x идет выше, поэтому площадь равна

S=2 принадлежит t\limits_0 в степени (\textstyle дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ) левая круглая скобка косинус x минус дробь: числитель: 2 корень из (2) x, знаменатель: Пи конец дроби правая круглая скобка dx= 2 принадлежит t\limits_0 в степени (\textstyle дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ) левая круглая скобка косинус x минус дробь: числитель: 2 корень из (2) , знаменатель: Пи конец дроби умножить на x правая круглая скобка dx=
= 2\left. левая круглая скобка синус x минус дробь: числитель: 2 корень из (2) , знаменатель: Пи конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате правая круглая скобка |_0 в степени (\textstyle дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ) = 2\left. левая круглая скобка синус x минус дробь: числитель: корень из (2) , знаменатель: Пи конец дроби умножить на x в квадрате правая круглая скобка |_0 в степени (\textstyle дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ) =
= 2 левая круглая скобка синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: корень из (2) , знаменатель: Пи конец дроби умножить на дробь: числитель: Пи в квадрате , знаменатель: 16 конец дроби минус синус 0 плюс дробь: числитель: корень из (2) , знаменатель: Пи конец дроби умножить на 0 правая круглая скобка = 2 левая круглая скобка дробь: числитель: корень из (2) , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: корень из (2) Пи , знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка = корень из (2) минус дробь: числитель: корень из (2) Пи , знаменатель: 8 конец дроби .

 

 

Ответ:  дробь: числитель: корень из (2) , знаменатель: 8 конец дроби (8 минус Пи ).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3015

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 2007 год, вариант 2
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей
?
Сложность: 7 из 10