Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2957
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции y=4x минус x в квад­ра­те минус 3 и ка­са­тель­ны­ми к этому гра­фи­ку, про­ве­ден­ны­ми через точку M левая круг­лая скоб­ка 2; 5 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Точка M левая круг­лая скоб­ка 2; 5 пра­вая круг­лая скоб­ка не при­над­ле­жит гра­фи­ку функ­ции, так как 4 умно­жить на 2 минус 2 в квад­ра­те минус 3=1 не равно 5. Пусть  левая круг­лая скоб­ка x_0; y_0 пра­вая круг­лая скоб­ка точка ка­са­ния. Тогда y_0=4x_0 минус x_0 в квад­ра­те минус 3 и про­из­вод­ная y' левая круг­лая скоб­ка x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка =4 минус 2x_0. Урав­не­ние ка­са­тель­ной имеет вид y= левая круг­лая скоб­ка 4 минус 2x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4x_0 минус x_0 в квад­ра­те минус 3 или y= левая круг­лая скоб­ка 4 минус 2x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс x_0 в квад­ра­те минус 3. Под­ста­вив ко­ор­ди­на­ты точки М в урав­не­ние ка­са­тель­ной, по­лу­чим

5= левая круг­лая скоб­ка 4 минус 2x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 2 плюс x_0 в квад­ра­те минус 3 рав­но­силь­но x_0 левая круг­лая скоб­ка x_0 минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x_0=0,x_0=4. конец со­во­куп­но­сти .

Урав­не­ния ка­са­тель­ных: y=4x минус 3 и y= минус 4x плюс 13. На ри­сун­ке изоб­ра­же­на фи­гу­ра, пло­щадь S ко­то­рой тре­бу­ет­ся вы­чис­лить. Решим

 S = ин­те­грал пре­де­лы: от 0 до 2, левая круг­лая скоб­ка 4x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка dx минус ин­те­грал пре­де­лы: от 0 до 2, левая круг­лая скоб­ка 4x минус x в квад­ра­те минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка dx плюс ин­те­грал пре­де­лы: от 2 до 4, левая круг­лая скоб­ка минус 4x плюс 13 пра­вая круг­лая скоб­ка dx минус ин­те­грал пре­де­лы: от 2 до 4, левая круг­лая скоб­ка 4x минус x в квад­ра­те минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка dx =
= левая круг­лая скоб­ка 2x в квад­ра­те минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от 0 до 2, минус левая круг­лая скоб­ка 2x в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от 0 до 2, плюс левая круг­лая скоб­ка минус 2x в квад­ра­те плюс 13x пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от 2 до 4, минус левая круг­лая скоб­ка 2x в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус 3x пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от 2 до 4, =
= 8 минус 6 минус 8 плюс дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 6 минус 32 плюс 52 плюс 8 минус 26 минус 32 плюс дробь: чис­ли­тель: 64, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 12 плюс 8 минус дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус 6= дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби левая круг­лая скоб­ка кв. ед. пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби  (кв. ед.).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2946

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2003 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 7 из 10