Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2924

Найдите остаток от деления многочлена

P(x)=3x в степени (19) плюс 5x в степени (16) минус x в степени (13) плюс x в кубе минус 6

на двучлен Q(x)=x в квадрате плюс 1.
Спрятать решение

Решение.

Результат деления с остатком запишем в виде

P(x)=H(x) умножить на (x в квадрате плюс 1) плюс (ax плюс b),

где (ax плюс b) — остаток. Подставим в это равенство вместо x мнимую единицу i. Тогда

P(i)=H(i) умножить на (i в квадрате плюс 1) плюс (ai плюс b),

а так как i в квадрате плюс 1=0, то P(i)=(ai плюс b).

Вычислим P(i):

P(i)=3i в степени (19) плюс 5i в степени (16) минус i в степени (13) плюс i в степени 5 минус 6=3i в степени (16 плюс 3) плюс 5i в степени (16) минус i в степени (12 плюс 1) плюс i4 плюс 1 минус 6=3i в кубе плюс 5 минус i плюс i минус 6= минус 3i минус 1.

Таким образом, остаток от деления есть двучлен  минус 3x минус 1.

 

Ответ:  минус 3x минус 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2929

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 2002 год, работа 2, вариант 1
? Классификатор: Задачи о многочленах
?
Сложность: 8 из 10