Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2913
i

Най­ди­те все пер­во­об­раз­ные (Fx)) функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус 2x, для ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся два усло­вия: на про­ме­жут­ке  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка гра­фи­ки f(x) и F(x) не имеют общих точек и пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной этими гра­фи­ка­ми и пря­мы­ми x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и x= дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби равна 3.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Все пер­во­об­раз­ные функ­ции  ко­си­нус 2x могут быть за­пи­са­ны в виде  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 2x плюс C. До­пу­стим, что ее гра­фик про­хо­дит выше чем гра­фик  ко­си­нус 2x. Тогда по усло­вию

 при­над­ле­жит t пре­де­лы: от \tfrac Пи 2 до \tfrac3 Пи , 4 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 2x плюс C минус ко­си­нус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка dx=3 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­си­нус 2x плюс Cx минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка |_\tfrac Пи 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac3 Пи пра­вая круг­лая скоб­ка 4=3 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на 0 плюс дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби C минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби C плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 0=3 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби C плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =3 рав­но­силь­но Пи C плюс 2 минус 1=12 рав­но­силь­но Пи C=11 рав­но­силь­но C= дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби .

Про­ве­рим, как рас­по­ло­же­ны гра­фи­ки. До­ка­жем, что  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 2x плюс дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби боль­ше ко­си­нус 2x. В самом деле,

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 2x плюс дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби боль­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 3= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше ко­си­нус 2x

Такое C под­хо­дит. Те­перь до­пу­стим, что ее гра­фик про­хо­дит ниже чем гра­фик  ко­си­нус 2x. Тогда по усло­вию

 при­над­ле­жит t пре­де­лы: от \tfrac Пи 2 до \tfrac3 Пи , 4 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 2x минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 2x плюс C пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx=3 рав­но­силь­но при­над­ле­жит t пре­де­лы: от \tfrac Пи 2 до \tfrac3 Пи , 4 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 2x плюс C минус ко­си­нус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка dx= минус 3 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­си­нус 2x плюс Cx минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка |_\tfrac Пи 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac3 Пи пра­вая круг­лая скоб­ка 4= минус 3 рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на 0 плюс дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби C минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби C плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 0= минус 3 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби C плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = минус 3 рав­но­силь­но Пи C плюс 2 минус 1= минус 12 рав­но­силь­но Пи C= минус 13 рав­но­силь­но C= минус дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби .

Про­ве­рим, как рас­по­ло­же­ны гра­фи­ки. До­ка­жем, что  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 2x минус дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби мень­ше ко­си­нус 2x. В самом деле,

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 2x минус дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 3= минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше ко­си­нус 2x.

Такое C тоже под­хо­дит. По итогу имеем C= дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби или C= минус дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби .

 

Ответ: F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 2x минус дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби и F левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 2x плюс дробь: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: Пи конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2919

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2002 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: На­хож­де­ние пер­во­об­раз­ных
?
Сложность: 10 из 10