При каких значениях параметра a ровно три точки графика функции 
равноудалены от осей координат?
Точки, равноудаленные от осей координат, лежат на прямых 
или 
Значит, уравнения 
и 
должны вместе иметь ровно три решения. Если у них есть общее решение, то для него 
поэтому 
и 
Разберем этот случай, решим:
и 
или 
где 
у второго множителя нет корней. Итого получилось ровно три точки. В остальных случаях эти решения различны. Поскольку кубическое уравнение всегда имеет корень, одно из них должно иметь один корень, а другое два.
Второе уравнение сводится к 
Функция 
имеет производную:
и поэтому всюду возрастает. Значит, такое уравнение всегда имеет ровно один корень. Тогда два корня должно быть у первого уравнения. График кубического многочлена может пересекать прямую ровно два раза только если эта прямая является к нему касательной. Пусть касается 
тогда производная в точке касания должна быть равна 1 — ее угловому коэффициенту. Возьмем производную
Если 
то точка (1; 1) лежала на графике откуда 
Уравнение 
действительно имеет два корня — кратный корень 
и (по теореме Виета для кубического многочлена) 
Если 
то точка 
лежала на графике откуда 
т. е. 
Уравнение 
действительно имеет два корня — кратный корень 
и (по теореме Виета для кубического многочлена) 
Значит, эти случаи тоже подходят.
Ответ: ровно три точки графика функции равноудаленны от осей координат при 
при и 
Задание парного варианта: 2901