Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2906

Исследуйте на выпуклость функцию y=x в степени (100) и, используя полученный результат, сравните числа  дробь: числитель: 3 в степени (100) плюс 2 в степени (100) , знаменатель: 2 конец дроби и  левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени (100) .

Спрятать решение

Решение.

Возьмем ее вторую производную, получим

(x в степени (100) )''=(100x в степени (99) )'=100 умножить на 99x в степени (98) =9900x в степени (98) больше или равно 0.

Следовательно, функция выпукла вниз. Тогда по неравенству выпуклости  дробь: числитель: f(a) плюс f(b), знаменатель: 2 конец дроби больше f левая круглая скобка дробь: числитель: a плюс b, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка . Применяя это неравенство к числам a = 2, b = 3, получаем

 дробь: числитель: 3 в степени (100) плюс 2 в степени (100) , знаменатель: 2 конец дроби больше левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени (100) .

На самом деле,

3 в степени 1 00=9 в степени (50) больше 8 в степени (50) =2 в степени (150) больше 2 умножить на 2 в степени (148) =2 умножить на 16 в степени (37) больше 2 умножить на (15,625) в степени (37) =2 умножить на (2,5) в степени (111) больше 2 умножить на (2,5) в степени (100) ,

так что можно обойтись без выпуклости.

 

Ответ:  левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени (100) меньше дробь: числитель: 3 в степени (100) плюс 2 в степени (100) , знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2900

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 2001 год, работа 3, вариант 2
? Классификатор: Исследование функций, Сравнение чисел
?
Сложность: 9 из 10