Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2904
i

Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний  си­сте­ма вы­ра­же­ний \log _ дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 3 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =\log _ дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 8y в квад­ра­те минус 6xy плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , \log _yx плюс \log _x левая круг­лая скоб­ка 2y пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 1. конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пер­вое урав­не­ние дает

3 минус x в квад­ра­те =8y в квад­ра­те минус 6xy плюс 3 рав­но­силь­но 8y в квад­ра­те минус 6xy плюс x в квад­ра­те =0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 2y минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 4y минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=2y,x=4y. конец со­во­куп­но­сти .

При этом еще долж­но вы­пол­нять­ся усло­вие 3 минус x в квад­ра­те боль­ше 0. Если x=2y, то вто­рое урав­не­ние дает

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка y пра­вая круг­лая скоб­ка 2y плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2y пра­вая круг­лая скоб­ка 2y= минус 1 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка y пра­вая круг­лая скоб­ка 2y плюс 1= минус 1 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка y пра­вая круг­лая скоб­ка 2y= минус 2 рав­но­силь­но y в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =2y рав­но­силь­но 2y в кубе =1 рав­но­силь­но y= ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та

и x=2y=2 ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 конец ар­гу­мен­та . По­сколь­ку 3 минус x в квад­ра­те =3 минус ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 16 конец ар­гу­мен­та боль­ше 0, эти числа под­хо­дят. Если x=4y, то вто­рое урав­не­ние дает

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка y пра­вая круг­лая скоб­ка 4y плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 4y пра­вая круг­лая скоб­ка 2y= минус 1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 4y, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 y конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 2y, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 4y конец дроби = минус 1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 y, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 y конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 y, зна­ме­на­тель: 2 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 y конец дроби = минус 1.

Пусть  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 y=t, тогда

 дробь: чис­ли­тель: 2 плюс t, зна­ме­на­тель: t конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1 плюс t, зна­ме­на­тель: 2 плюс t конец дроби = минус 1 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 2 плюс t пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 1 плюс t пра­вая круг­лая скоб­ка t= минус 1t левая круг­лая скоб­ка 2 плюс t пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но 4 плюс 4t плюс t в квад­ра­те плюс t плюс t в квад­ра­те = минус 2t минус t в квад­ра­те рав­но­силь­но 3t в квад­ра­те плюс 7t плюс 4=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3t плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t= минус 1,t= минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Вер­нем­ся к за­ме­не пе­ре­мен­ной, тогда

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 y= минус 1, ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 y= минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,y=2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус \tfrac43 пра­вая круг­лая скоб­ка конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=2,x=4 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус \tfrac43 пра­вая круг­лая скоб­ка . конец со­во­куп­но­сти .

Вто­рое вы­ра­же­ние можно при­ве­сти к виду: x=4 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус \tfrac43 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в квад­ра­те умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус \tfrac43 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \tfrac23 пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 конец ар­гу­мен­та . Ва­ри­ант x=2 и y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби не под­хо­дит из-за усло­вия 3 минус x в квад­ра­те боль­ше 0. Вто­рой ва­ри­ант под­хо­дит, по­сколь­ку такое x мы уже про­ве­ря­ли.

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 конец ар­гу­мен­та ; ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка ; левая круг­лая скоб­ка ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 конец ар­гу­мен­та ; 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус \tfrac43 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2898

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2001 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния и си­сте­мы
?
Сложность: 7 из 10