Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2904

Решите систему уравнений  система выражений \log _ \textstyle дробь: числитель: 3, знаменатель: 10 конец дроби (3 минус x в квадрате )=\log _ \textstyle дробь: числитель: 3, знаменатель: 10 конец дроби (8y в квадрате минус 6xy плюс 3), \log _yx плюс \log _x(2y)= минус 1. конец системы .

Спрятать решение

Решение.

Первое уравнение дает

3 минус x в квадрате =8y в квадрате минус 6xy плюс 3 равносильно 8y в квадрате минус 6xy плюс x в квадрате =0 равносильно (2y минус x)(4y минус x)=0 равносильно совокупность выражений x=2y,x=4y. конец совокупности .

При этом еще должно выполняться условие 3 минус x в квадрате больше 0. Если x=2y, то второе уравнение дает

 логарифм по основанию (y) 2y плюс логарифм по основанию (2y) 2y= минус 1 равносильно логарифм по основанию (y) 2y плюс 1= минус 1 равносильно логарифм по основанию (y) 2y= минус 2 равносильно y в степени ( минус 2) =2y равносильно 2y в кубе =1 равносильно y= корень из [ 3] дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби

и x=2y=2 корень из [ 3] дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = корень из [ 3]4. Поскольку 3 минус x в квадрате =3 минус корень из [ 3]16 больше 0, эти числа подходят. Если x=4y, то второе уравнение дает

 логарифм по основанию (y) 4y плюс логарифм по основанию (4y) 2y= минус 1 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 4y, знаменатель: логарифм по основанию 2 y конец дроби плюс дробь: числитель: логарифм по основанию 2 2y, знаменатель: логарифм по основанию 2 4y конец дроби = минус 1 равносильно дробь: числитель: 2 плюс логарифм по основанию 2 y, знаменатель: логарифм по основанию 2 y конец дроби плюс дробь: числитель: 1 плюс логарифм по основанию 2 y, знаменатель: 2 плюс логарифм по основанию 2 y конец дроби = минус 1.

Пусть  логарифм по основанию 2 y=t, тогда

 дробь: числитель: 2 плюс t, знаменатель: t конец дроби плюс дробь: числитель: 1 плюс t, знаменатель: 2 плюс t конец дроби = минус 1 равносильно (2 плюс t) в квадрате плюс (1 плюс t)t= минус 1t(2 плюс t) равносильно

 равносильно 4 плюс 4t плюс t в квадрате плюс t плюс t в квадрате = минус 2t минус t в квадрате равносильно 3t в квадрате плюс 7t плюс 4=0 равносильно (t плюс 1)(3t плюс 4)=0 равносильно совокупность выражений t= минус 1,t= минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби . конец совокупности .

Вернемся к замене переменной, тогда

 совокупность выражений логарифм по основанию 2 y= минус 1, логарифм по основанию 2 y= минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,y=2 в степени ( минус \tfrac43) конец совокупности . равносильно совокупность выражений x=2,x=4 умножить на 2 в степени ( минус \tfrac43) . конец совокупности .

Второе выражение можно привести к виду: x=4 умножить на 2 в степени ( минус \tfrac43) =2 в квадрате умножить на 2 в степени ( минус \tfrac43) =2 в степени (\tfrac23) = корень из [ 3]4. Вариант x=2 и y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби не подходит из-за условия 3 минус x в квадрате больше 0. Второй вариант подходит, поскольку такое x мы уже проверяли.

 

Ответ: \left \ левая круглая скобка корень из [ 3]4; корень из [ 3] дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ; левая круглая скобка корень из [ 3]4; 2 в степени ( минус \tfrac43) правая круглая скобка \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2898

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 2001 год, работа 3, вариант 2
? Классификатор: Логарифмические уравнения и системы
?
Сложность: 7 из 10