Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2902

Среди комплексных чисел z, что (z плюс \barz)(z минус \barz)=4i корень из (3) найдите все числа с аргументом  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

Пусть z=x плюс iy, тогда \overlinez=x минус iy. Получаем

(x плюс iy плюс x минус iy)(x плюс iy минус x плюс iy)=4i корень из (3) равносильно (2x)(2iy)=4i корень из (3) равносильно xy= корень из (3) .

А поскольку кроме того аргумент z равен  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби , то  дробь: числитель: y, знаменатель: x конец дроби = тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби = корень из (3) , то есть y= корень из (3) x. Подставляя в полученное уравнение, имеем x умножить на корень из (3) x= корень из (3) , т. е. x в квадрате =1, получим x=\pm1. Но поскольку x больше 0 (точка лежит в первой четверти), то x=1, y= корень из (3) , и z=1 плюс i корень из (3) .

 

Ответ: 1 плюс i корень из (3) .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2896

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 2001 год, работа 3, вариант 2
? Классификатор: Уравнения с комплексными числами и их системы
?
Сложность: 5 из 10