РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2882

При каких значениях параметра a уравнение $синус в квадрате x плюс 2a косинус x=a в квадрате$ имеет нечетное число корней на промежутке $левая круглая скобка минус 5 Пи ;5 Пи правая квадратная скобка ?$

Спрятать решение

Решение.

Сразу заметим, что это уравнение можно записать в виде $1 минус косинус в квадрате x плюс 2a косинус x=a в квадрате .$ После замены $косинус x=t$ оно превратится в квадратное, имеющее не более двух корней. Каждому из них соответствует лишь конечное число значений x на указанном промежутке. Значит, количество корней в любом случае конечно.

Допустим x является корнем этого уравнения. Тогда $синус в квадрате x плюс 2a косинус x=a в квадрате .$ Тогда и $синус в квадрате левая круглая скобка минус x правая круглая скобка плюс 2a косинус левая круглая скобка минус x правая круглая скобка =a в квадрате ,$ поэтому −x тоже является его корнем. Значит, почти все корни разбиваются на пары и всего корней четное количество. Возможны следующие исключения.

1)  Одним из корней является $x=0,$ образующее пару само с собой. Тогда $0 плюс 2a=a в квадрате ,$ откуда $a=0$ или $a=2.$

2)  Одним из корней является $5 Пи ,$ парный к которому $минус 5 Пи$ не лежит на указанном отрезке. Тогда $0 минус 2a=a в квадрате ,$ откуда $a=0$ или $a= минус 2.$ Значит, при $a=0$ корней четное число (несколько пар, $x=0$ и $x=5 Пи$ ), а при $a=\pm 2$   — нечетное число.

Ответ: $a=\pm 2.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2876

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 2001 год, работа 1, вариант 2

? Классификатор: Уравнения с параметром

Сложность: 9 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь