Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2881
i

Из­вест­но, что ком­плекс­ные числа z и 2 плюс i минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \barz имеют оди­на­ко­вый мо­дуль. В каких пре­де­лах может из­ме­нять­ся зна­че­ние этого мо­ду­ля?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Имеем: \absz=\abs2 плюс i минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \overlinez. Пусть z=x плюс iy, тогда:

\abs2z=\abs4 плюс 2i минус \overlinez рав­но­силь­но \abs2x плюс 2iy=\abs4 плюс 2i минус x плюс iy рав­но­силь­но 4x в квад­ра­те плюс 4y в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 4 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но 4x в квад­ра­те плюс 4y в квад­ра­те =16 минус 8x плюс x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те плюс 4y плюс 4 рав­но­силь­но 3x в квад­ра­те плюс 3y в квад­ра­те плюс 8x минус 4y минус 20=0 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби y минус дробь: чис­ли­тель: 20, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =0 рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x плюс дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби y плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 20, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 20, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 80, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби .

Сле­до­ва­тель­но, все такие точки об­ра­зу­ют окруж­ность с цен­тром в точке  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка и ра­ди­у­сом  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 80, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби конец ар­гу­мен­та =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 20, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби конец ар­гу­мен­та . На­ча­ло ко­ор­ди­нат лежит внут­ри нее. Рас­сто­я­ние от ее цен­тра до на­ча­ла ко­ор­ди­нат равно  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 20 конец ар­гу­мен­та 9. Зна­чит, рас­сто­я­ние от на­ча­ла ко­ор­ди­нат до бли­жай­шей ее точки равно 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 20, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 20, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 20, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби конец ар­гу­мен­та , а до самой уда­лен­ной  —2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 20, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 20, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби конец ар­гу­мен­та =3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 20, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби конец ар­гу­мен­та . Эти точки лежат на пря­мой, про­хо­дя­щей через на­ча­ло ко­ор­ди­нат и центр окруж­но­сти.

 

Ответ:  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби ;2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2875

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2001 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Дей­ствия над ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми
?
Сложность: 8 из 10