PDF-версии: 
На прямой 
найдите все такие точки, что проведенные через них касательные к графику функции 
взаимно перпендикулярны.
Решение. Прямая 
является касательной к графику функции 
в том и только том случае, когда уравнение 
имеет единственный корень, то есть когда дискриминант уравнения 
равен нулю. Итак, 
и касательные имеют вид 
Прямые перпендикулярны в том и только том случае, когда произведение их угловых коэффициентов равно −1 (или одна горизонтальна, а вторая вертикальна, но касательная к этой параболе не может быть вертикальна). Значит, вторая касательная имеет коэффициент при x равный 
поэтому ее уравнение
Найдем точку пересечения этих прямых. Ее абсцисса удовлетворяет условию
Поскольку она лежит на прямой 
получаем
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |