РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2841

Спрятать решение

Решение.

Так как основание логарифмической функции $y= логарифм по основанию a t,$ где $0 меньше a меньше 1$ и $a больше 1,$ то, учитывая свойства логарифма, преобразуем, уравнение, разделив его на a:

$дробь: числитель: x, знаменатель: a конец дроби = логарифм по основанию a левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: a конец дроби плюс 2 минус 2\left| дробь: числитель: x, знаменатель: a конец дроби минус 1 | плюс 3\left| дробь: числитель: x, знаменатель: a конец дроби минус 2 | минус 2\left| дробь: числитель: x, знаменатель: a конец дроби минус 3 | правая круглая скобка .$

Обозначим $дробь: числитель: x, знаменатель: a конец дроби =t,$ тогда

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a в степени левая круглая скобка логарифм по основанию a b правая круглая скобка =b:$

Уравнение будет иметь только один корень тогда, когда графики функции будут иметь единственную точку пересечения.

Уравнение равносильно системе

$y= система выражений 2t, где t меньше 1; 4 минус 2t, где 1 меньше или равно t меньше 2; 4t минус 8, где 2 меньше или равно t меньше 3; 4, где t больше или равно 3. конец системы .$

График представлен на левом рисунке.

График функции $y=a в степени t$ будет проходить через точку (0; 1) при любом значении a. Таким образом, при $0 меньше a меньше 1$ графики будут иметь четыре точки пересечения (левый рис.); при $a больше 1$ уравнение будет иметь единственный корень (левый рис.), если графики пересекаются в точке (1; 2), т. е. $a в степени t =2,$ откуда $a=2.$

Поскольку между переменными x и t взаимно однозначное соответствие, то и исходное уравнение ровно один корень при $a=2.$

Ответ: при $a=2.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2847

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 2000 год, работа 1, вариант 1

? Классификатор: Уравнения с параметром

Сложность: 10 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь