Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2805
i

Най­ди­те все такие зна­че­ния па­ра­мет­ра a, для каж­до­го из ко­то­рых урав­не­ние  ко­си­нус x=a имеет наи­боль­шее ко­ли­че­ство кор­ней на про­ме­жут­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 29 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Опре­де­ли­те это ко­ли­че­ство; для каж­до­го та­ко­го a най­ди­те сумму кор­ней дан­но­го урав­не­ния на рас­смат­ри­ва­е­мом про­ме­жут­ке.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Если a боль­ше 1 или a мень­ше минус 1, то кор­ней нет. Если a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 1;1 пра­вая круг­лая скоб­ка , то на любом про­ме­жут­ке дли­ной 2 Пи (с вклю­че­ни­ем од­но­го конца и ис­клю­че­ни­ем дру­го­го) урав­не­ние имеет ровно два корня. В част­но­сти это верно для про­ме­жут­ков

 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ; левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ; \ldots, левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 25 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 29 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Это уже 14 кор­ней. На про­ме­жут­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка кор­ней не может быть боль­ше двух (он яв­ля­ет­ся ча­стью про­ме­жут­ка дли­ной 2 Пи ). Итого число кор­ней от 14 до 16. Если a=\pm 1, то на тех же про­ме­жут­ках будет по од­но­му корню (а на по­след­нем не более од­но­го), то есть всего не более вось­ми. Зна­чит, наи­боль­шее число кор­ней равно 16 и до­сти­га­ет­ся в том слу­чае, когда зна­че­ние a при­ни­ма­ет­ся функ­ци­ей  ко­си­нус x два­жды на про­ме­жут­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Оче­вид­но для этого не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Те­перь най­дем сумму кор­ней. Корни на про­ме­жут­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка про­ти­во­по­лож­ны друг другу, их можно не учи­ты­вать. Корни на  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка от­ли­ча­ют­ся от них при­бав­ле­ни­ем 2 Пи , по­это­му их сумма равна 4 Пи . Ана­ло­гич­но сумма кор­ней на сле­ду­ю­щих про­ме­жут­ках равна 8 Пи , 12 Пи , \ldots 28 Пи . Общая сумма равна

4 Пи левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 2 плюс 3 плюс 4 плюс 5 плюс 6 плюс 7 пра­вая круг­лая скоб­ка =4 умно­жить на 28 Пи =112 Пи .

Ответ a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка ; 16 кор­ней; сумма 112 Пи .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2811

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1999 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 10 из 10