Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2795
i

Пусть g левая круг­лая скоб­ка x;y пра­вая круг­лая скоб­ка =1 минус \log _x плюс y в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс xy плюс 3y минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . При каких x вы­ра­же­ние g левая круг­лая скоб­ка 1;y пра­вая круг­лая скоб­ка при­ни­ма­ет не­от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Под­ста­вим x=1 и по­лу­чим:

1 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 1 плюс y в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 плюс y плюс 3y минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 1 плюс y в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка 4y мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 1 плюс y в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка 4y мень­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 1 плюс y в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 плюс y в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка .

За­ме­тим, что 1 плюс y в квад­ра­те боль­ше 1 при y не равно 0 (а при y=0 оно дает еди­ни­цу и не может быть ос­но­ва­ни­ем ло­га­риф­ма). Тогда можно из­ба­вить­ся от ло­га­риф­мов: 0 мень­ше 4y мень­ше или равно 1 плюс y в квад­ра­те .

Пер­вое не­ра­вен­ство дает y боль­ше 0.

Вто­рое не­ра­вен­ство дает 4y мень­ше или равно 1 плюс y в квад­ра­те , то есть y в квад­ра­те минус 4y плюс 1 боль­ше или равно 0. Корни урав­не­ния y в квад­ра­те минус 4y плюс 1=0 равны 2\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , по­это­му либо y мень­ше или равно 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , либо y боль­ше или равно 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Сов­ме­щая ре­ше­ния, по­лу­ча­ем, что 0 мень­ше y мень­ше или равно 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , либо y боль­ше или равно 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка 0; 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2789

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2001 год, ра­бо­та 4, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства
?
Сложность: 6 из 10