Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2789
i

Пусть f левая круг­лая скоб­ка x;y пра­вая круг­лая скоб­ка =\log _\dfracy2 плюс x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус y в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 6x, зна­ме­на­тель: y конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1. При каких x вы­ра­же­ние f левая круг­лая скоб­ка x;2 пра­вая круг­лая скоб­ка при­ни­ма­ет не­от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Под­ста­вим y=2 и за­пи­шем не­ра­вен­ство:

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка \dfrac2 пра­вая круг­лая скоб­ка 2 плюс x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 4 плюс 3x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка \dfrac2 пра­вая круг­лая скоб­ка 2 плюс x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс 3x минус целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно минус 1 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка \dfrac2 пра­вая круг­лая скоб­ка 2 плюс x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс 3x минус целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка \dfrac2 пра­вая круг­лая скоб­ка 2 плюс x в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: 2 плюс x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

За­ме­тим, что 0 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 2 плюс x в квад­ра­те конец дроби мень­ше 1 при x не равно 0 (а при x=0 вы­ра­же­ние равно еди­ни­це и не может быть ос­но­ва­ни­ем ло­га­риф­ма). Тогда можно из­ба­вить­ся от ло­га­риф­мов, по­ме­няв знак не­ра­вен­ства:

0 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс 3x минус целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 2 плюс x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Решим пер­вое не­ра­вен­ство:

0 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x в квад­ра­те плюс 3x минус целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс 6x минус 7 боль­ше 0, рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x боль­ше 1,x мень­ше минус 7. конец со­во­куп­но­сти .

Решим вто­рое не­ра­вен­ство: 3x минус целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 мень­ше или равно 1 рав­но­силь­но 3x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Сов­ме­щая ре­ше­ния, по­лу­ча­ем x мень­ше минус 7 или  1 мень­ше x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 7 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1; дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2795

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2001 год, ра­бо­та 4, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства
?
Сложность: 6 из 10