Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2786

При каких отрицательных значениях p площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=(1 минус x)e в степени (x) и прямыми x=p, x=p плюс 1, наибольшая?

Спрятать решение

Решение.

Выразим площадь этой трапеции в явном виде через p, получим

S(p)= принадлежит t\limits_p в степени (p плюс 1) (1 минус x)e в степени (x) dx=F(p плюс 1) минус F(p),

где F(x) — любая первообразная функции (1 минус x)e в степени (x) . Тогда

S'(p)=F'(p плюс 1) минус F'(p)=y(p плюс 1) минус y(p)=( минус p)e в степени (p плюс 1) минус (1 минус p)e в степени (p) =e в степени (p) (p минус 1 минус pe).

Первый множитель всегда положителен. Второй положителен при p меньше дробь: числитель: минус 1, знаменатель: (e минус 1) конец дроби и отрицателен при p больше дробь: числитель: минус 1, знаменатель: (e минус 1) конец дроби , значит, функция S(p) возрастает до этого значения p и убывает после него. Поэтому самая большая площадь при p= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: e минус 1 конец дроби .

 

Ответ:  минус дробь: числитель: 1, знаменатель: e минус 1 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2780

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1998 год, работа 2, вариант 2
? Классификатор: Функции, зависящие от параметра
?
Сложность: 9 из 10