Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2785

Среди всех комплексных чисел z, таких, что |z плюс 2 минус 3i|=a, есть ровно одно число z_0 такое, что аргумент z_0 равен  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби . Найдите z_0.

Спрятать решение

Решение.

Уравнение \absz минус ( минус 2 плюс 3i)=a задает окружность с центром в точке ( минус 2 плюс 3i) и радиусом a. Числа с аргументом  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби образуют луч, идущий по биссектрисе второй четверти. Возможны два случая:

1) Окружность касается данного луча. Тогда луч перпендикулярен к радиусу, проведенному в точку касания, значит, этот радиус имеет вид y=x плюс c. Поскольку он должен проходить через центр окружности — точку ( минус 2;3), получаем что 3= минус 2 плюс c, то есть c=5. Точка пересечения прямых y= минус x и y=x плюс 5 это ( минус 2,5; 2,5), поэтому z_0= минус 2,5 плюс 2,5i.

2) Окружность пересекает прямую y= минус x в двух точках, но лишь одна из них лежит на этом луче. Заметим, что эти точки симметричны относительно ( минус 2,5; 2,5) (поскольку прямая, соединяющая эту точку с центром, перпендикулярна полученной хорде, она оказывается серединным перпендикуляром). Если у одной из точек координата по оси x при этом не меньше 0, то у другой она не больше 2 умножить на ( минус 2,5) минус 0= минус 5 и этого достаточно. В этом случае z_0= минус x плюс xi, где x больше 5 (при x=5 вторая точка — само начало координат, ему соответствует число 0, аргумент которого может считаться любым).

 

Ответ: z_0= минус x плюс xi, где x больше 5 и z_0= минус 2,5 плюс 2,5i.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2779

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1998 год, работа 2, вариант 2
? Классификатор: Действия над комплексными числами
?
Сложность: 8 из 10