РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2785

Среди всех комплексных чисел z, таких, что $|z плюс 2 минус 3i|=a,$ есть ровно одно число $z_0$ такое, что аргумент $z_0$ равен $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$ Найдите $z_0.$

Спрятать решение

Решение.

Уравнение $\absz минус левая круглая скобка минус 2 плюс 3i правая круглая скобка =a$ задает окружность с центром в точке $левая круглая скобка минус 2 плюс 3i правая круглая скобка$ и радиусом a. Числа с аргументом $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби$ образуют луч, идущий по биссектрисе второй четверти. Возможны два случая:

1)  Окружность касается данного луча. Тогда луч перпендикулярен к радиусу, проведенному в точку касания, значит, этот радиус имеет вид $y=x плюс c.$ Поскольку он должен проходить через центр окружности  — точку $левая круглая скобка минус 2;3 правая круглая скобка ,$ получаем что $3= минус 2 плюс c,$ то есть $c=5.$ Точка пересечения прямых $y= минус x$ и $y=x плюс 5$ это $левая круглая скобка минус 2,5; 2,5 правая круглая скобка ,$ поэтому $z_0= минус 2,5 плюс 2,5i.$

2)  Окружность пересекает прямую $y= минус x$ в двух точках, но лишь одна из них лежит на этом луче. Заметим, что эти точки симметричны относительно $левая круглая скобка минус 2,5; 2,5 правая круглая скобка$ (поскольку прямая, соединяющая эту точку с центром, перпендикулярна полученной хорде, она оказывается серединным перпендикуляром). Если у одной из точек координата по оси x при этом не меньше 0, то у другой она не больше $2 умножить на левая круглая скобка минус 2,5 правая круглая скобка минус 0= минус 5$ и этого достаточно. В этом случае $z_0= минус x плюс xi,$ где $x больше 5$ (при $x=5$ вторая точка  — само начало координат, ему соответствует число 0, аргумент которого может считаться любым).

Ответ: $z_0= минус x плюс xi,$ где $x больше 5$ и $z_0= минус 2,5 плюс 2,5i.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2779

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1998 год, работа 2, вариант 2

? Классификатор: Действия над комплексными числами

Сложность: 8 из 10

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь