PDF-версии: 
Среди всех комплексных чисел z, таких, что 
есть ровно одно число 
такое, что аргумент равен 
Найдите 
Решение. Уравнение 
задает окружность с центром в точке 
и радиусом a. Числа с аргументом 
образуют луч, идущий по биссектрисе второй четверти. Возможны два случая:
1) Окружность касается данного луча. Тогда луч перпендикулярен к радиусу, проведенному в точку касания, значит, этот радиус имеет вид 
Поскольку он должен проходить через центр окружности — точку 
получаем что 
то есть 
Точка пересечения прямых 
и 
это 
поэтому 
2) Окружность пересекает прямую в двух точках, но лишь одна из них лежит на этом луче. Заметим, что эти точки симметричны относительно 
(поскольку прямая, соединяющая эту точку с центром, перпендикулярна полученной хорде, она оказывается серединным перпендикуляром). Если у одной из точек координата по оси x при этом не меньше 0, то у другой она не больше 
и этого достаточно. В этом случае 
где 
(при 
вторая точка — само начало координат, ему соответствует число 0, аргумент которого может считаться любым).
Ответ: где и
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
где и где и