Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2783

Найдите наименьшее значение функции f(x)=4x минус 3 корень из (9 минус x) в квадрате .

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что x принадлежит [ минус 3;3], иначе корень не определен. Пусть t=\arcsin дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроби , тогда x=3 синус t и

 корень из (9 минус x в квадрате ) = корень из (9 минус 9 синус в квадрате t) =3 косинус t

(косинус неотрицателен при t принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ).

Тогда функция запишется в виде

9 синус t минус 12 косинус t=15 левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби косинус t плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби синус t правая круглая скобка =15( минус синус \varphi косинус t плюс косинус \varphi синус t)=15 синус (t минус \varphi),

где \varphi=\arccos дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби =\arcsin дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби .

Отсюда ясно, что наименьшее ее значение равно −15 и достигается при t= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс \varphi.

 

Ответ:  минус 15.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2777

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1998 год, работа 2, вариант 2
? Классификатор: Задачи на наибольшее и наименьшее значение функции
?
Сложность: 6 из 10