№ 2733 

Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 2. Показательные уравнения, неравенства, системы
i
Решите неравенство 
Спрятать решениеРешение. Преобразуем неравенство:












Ясно, что
иначе неравенство не определено из-за дробных степеней.
Докажем, что при
первый множитель положителен. В самом деле


то есть производная функции

положительна. Значит, сама функция возрастает, а

поэтому она положительна при всех

Поэтому первый множитель можно сократить. Получим

Возьмем производную данного выражения

Эта производная возрастает, поскольку
возрастает, а
убывает. Поэтому производная имеет не более одного корня, а тогда исходная функция имеет не более двух корней. Нетрудно видеть, что 1 и
являются ее корнями:


Поскольку производная сначала отрицательна, а затем положительна, функция сначала убывает, а потом возрастает. Значит, между корнями она отрицательна, а в прочих точках положительна. Окончательный ответ 
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: 
Задание парного варианта: 2739