Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2723

Одна из общих точек графика функции y=4x в кубе плюс 3x в квадрате минус 6x минус 5 и графика ее первообразной имеет абсциссу −1. Найдите абсциссы всех общих точек двух графиков.

Спрятать решение

Решение.

Любая первообразная этой функции имеет вид

x в степени 4 плюс x в кубе минус 3x в квадрате минус 5x плюс C.

По условию уравнение

4x в кубе плюс 3x в квадрате минус 6x минус 5=x в степени 4 плюс x в кубе минус 3x в квадрате минус 5x плюс C

имеет корень x= минус 1, то есть C= минус 2. Тогда уравнение принимает вид

4x в кубе плюс 3x в квадрате минус 6x минус 5=x в степени 4 плюс x в кубе минус 3x в квадрате минус 5x минус 2 равносильно x в степени 4 минус 3x в кубе минус 6x в квадрате плюс x плюс 3=0.

Поскольку мы знаем корень x= минус 1, то по теореме Безу этот многочлен делится на (x плюс 1). Разделив, получим

(x плюс 1)(x в кубе минус 4x в квадрате минус 2x плюс 3)=0.

У второй скобки снова есть корень x= минус 1. Выделим еще один множитель (x плюс 1), получим

(x плюс 1) в квадрате (x в квадрате минус 5x плюс 3)=0 равносильно совокупность выражений x плюс 1=0,x в квадрате минус 5x плюс 3=0 конец совокупности . равносильно система выражений x= минус 1,x= дробь: числитель: 5\pm корень из (13) , знаменатель: 2 конец дроби . конец системы .

 

Ответ: абсциссы: x= минус 1, x= дробь: числитель: 5\pm корень из (13) , знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2717

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1996 год, работа 3, вариант 2
? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей , Исследование функций
?
Сложность: 6 из 10