Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2714
i

Най­ди­те точку гра­фи­ка функ­ции y= на­ту­раль­ный ло­га­рифм x, сумма рас­сто­я­ний от ко­то­рой до оси ор­ди­нат и пря­мой y= дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби x наи­мень­шая.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим ко­ор­ди­на­ты этой точки за  левая круг­лая скоб­ка a; \ln левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка , при­чем a боль­ше 0. Тогда рас­сто­я­ние до оси ор­ди­нат равно a, а до пря­мой 12x минус 5y=0 со­став­ля­ет

\abs дробь: чис­ли­тель: 12a минус 5 на­ту­раль­ный ло­га­рифм a, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 12 в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12a минус 5 на­ту­раль­ный ло­га­рифм a, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби

(по­сколь­ку 12a боль­ше 5a боль­ше 5 на­ту­раль­ный ло­га­рифм a пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му ис­ко­мая сумма рас­сто­я­ний равна

 дробь: чис­ли­тель: 12a минус 5 на­ту­раль­ный ло­га­рифм a, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби плюс a= дробь: чис­ли­тель: 25a минус 5 на­ту­раль­ный ло­га­рифм a, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби

и нужно найти наи­мень­шее зна­че­ние этой функ­ции при a боль­ше 0. Возь­мем ее про­из­вод­ную

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 25 минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: a конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 25a минус 5, зна­ме­на­тель: a конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ,

что по­ло­жи­тель­но при a боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби и от­ри­ца­тель­но при a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . Зна­чит, наи­мень­шее зна­че­ние будет при a= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , оно равно  на­ту­раль­ный ло­га­рифм дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; на­ту­раль­ный ло­га­рифм дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2708

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1996 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 2
? Классификатор: На­хож­де­ние точки мно­же­ства, бли­жай­шей к гра­фи­ку дан­ной функ­ции, При­ме­не­ние про­из­вод­ной к ре­ше­нию задач
?
Сложность: 9 из 10