Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2703
i

Най­ди­те пер­во­об­раз­ную функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =2 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x плюс 1 конец ар­гу­мен­та конец дроби , име­ю­щую с гра­фи­ком функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка един­ствен­ную общую точку.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Если y=2 минус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 0.5 пра­вая круг­лая скоб­ка , то она опре­де­ле­на при x боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , а ее пер­во­об­раз­ная равна

2x минус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 0.5 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 0.5 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс C=2x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x плюс 1 конец ар­гу­мен­та плюс C.

Рас­смот­рим те­перь урав­не­ние 2 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x плюс 1 конец ар­гу­мен­та конец дроби =2x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x плюс 1 конец ар­гу­мен­та плюс C. По усло­вию оно долж­но иметь един­ствен­ный ко­рень. Обо­зна­чим  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x плюс 1 конец ар­гу­мен­та =t, тогда x= дробь: чис­ли­тель: t в квад­ра­те минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и каж­до­му по­ло­жи­тель­но­му зна­че­нию t со­от­вет­ству­ет един­ствен­ное зна­че­ние x. По­лу­чим урав­не­ние 2 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби =t в квад­ра­те минус 1 минус t плюс C, ко­то­рое долж­но иметь един­ствен­ный по­ло­жи­тель­ный ко­рень. Оно сво­дит­ся к C= минус t в квад­ра­те плюс t плюс 3 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби . Ис­сле­ду­ем функ­цию y левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = минус t в квад­ра­те плюс t плюс 3 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби . За­ме­тим, что

\lim\limits_tarrow плюс 0 левая круг­лая скоб­ка минус t в квад­ра­те плюс t плюс 3 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0 плюс 0 плюс 3 минус бес­ко­неч­ность = минус бес­ко­неч­ность

и

\lim\limits_tarrow плюс бес­ко­неч­ность левая круг­лая скоб­ка минус t левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус бес­ко­неч­ность умно­жить на левая круг­лая скоб­ка плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 минус 0= минус бес­ко­неч­ность .

Возь­мем те­перь ее про­из­вод­ную

 левая круг­лая скоб­ка минус t в квад­ра­те плюс t плюс 3 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка '= минус 2t плюс 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: минус 2t в кубе плюс t в квад­ра­те плюс 1, зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус 2t в квад­ра­те минус t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: t в квад­ра­те конец дроби

По­сколь­ку  минус 2t в квад­ра­те минус t минус 1 мень­ше 0 при всех t, знак про­из­вод­ной сов­па­да­ет со зна­ком 1 минус t, то есть функ­ция убы­ва­ет при t боль­ше 1 и воз­рас­та­ет при t мень­ше 1, по­это­му зна­че­ние в точке t=1 не при­ни­ма­ет­ся боль­ше нигде, а все мень­шие него зна­че­ния при­ни­ма­ют­ся по два раза.

Это зна­че­ние равно  минус 1 плюс 1 плюс 3 минус 1=2. Это и есть под­хо­дя­щее C.

 

Ответ: 2x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2x плюс 1 конец ар­гу­мен­та плюс 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2697

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1996 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния и их си­сте­мы, Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, На­хож­де­ние пер­во­об­раз­ных, Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 10 из 10