PDF-версии: 
Найдите первообразную функции 
имеющую с графиком функции 
единственную общую точку.
Решение. Если 
то она определена при 
а ее первообразная равна
Рассмотрим теперь уравнение 
По условию оно должно иметь единственный корень. Обозначим 
тогда 
и каждому положительному значению t соответствует единственное значение x. Получим уравнение 
которое должно иметь единственный положительный корень. Оно сводится к 
Исследуем функцию 
Заметим, что
и
Возьмем теперь ее производную
Поскольку 
при всех t, знак производной совпадает со знаком 
то есть функция убывает при 
и возрастает при 
поэтому значение в точке 
не принимается больше нигде, а все меньшие него значения принимаются по два раза.
Это значение равно 
Это и есть подходящее C.
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |