Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2695
i

Мно­же­ство M со­дер­жит все ком­плекс­ные числа z вида z= ко­си­нус \varphi плюс i синус \varphi , где 0 мень­ше или равно \varphi мень­ше или равно 2 Пи . Изоб­ра­зи­те мно­же­ство M_1 ком­плекс­ных чисел \omega , где \omega =\barz умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1 минус 3i, зна­ме­на­тель: 1 плюс 2i конец дроби , при­чем z про­бе­га­ет мно­же­ство M.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­тим для на­ча­ла, что

 дробь: чис­ли­тель: 1 минус 3i, зна­ме­на­тель: 1 плюс 2i конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 1 минус 3i пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2i пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 2i пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2i пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1 минус 3i минус 2i плюс 6i в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 1 минус 4i в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1 минус 5i минус 6, зна­ме­на­тель: 1 плюс 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: минус 5 минус 5i, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби = минус 1 минус i,

\overlinez= ко­си­нус \varphi минус i синус \varphi.

Те­перь за­пи­шем это про­из­ве­де­ние и пе­ре­ве­дем числа в три­го­но­мет­ри­че­скую форму:

\overlinez дробь: чис­ли­тель: 1 минус 3i, зна­ме­на­тель: 1 плюс 2i конец дроби = левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус \varphi минус i синус \varphi пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус 1 минус i пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус \varphi пра­вая круг­лая скоб­ка плюс i синус левая круг­лая скоб­ка минус \varphi пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби i пра­вая круг­лая скоб­ка = = левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус \varphi пра­вая круг­лая скоб­ка плюс i синус левая круг­лая скоб­ка минус \varphi пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс синус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби i пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус \varphi пра­вая круг­лая скоб­ка плюс i синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус \varphi пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка .

Таким об­ра­зом, в три­го­но­мет­ри­че­ской форме эти числа все­гда имеют мо­дуль  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , а их ар­гу­мент при­ни­ма­ет все зна­че­ния на про­ме­жут­ке дли­ной 2 Пи (а имен­но  левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ), по­это­му они об­ра­зу­ют окруж­ность с цен­тром в на­ча­ле ко­ор­ди­нат и ра­ди­у­сом  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , она изоб­ра­же­на на ри­сун­ке.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2701

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1996 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Дей­ствия над ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми , Изоб­ра­же­ние мно­жеств ком­плекс­ных чисел на плос­ко­сти
?
Сложность: 8 из 10