№ 2678 

Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 13. Комбинированные системы
i
Найдите все пары
при которых 
Спрятать решениеРешение. Решим систему уравнений

Сделаем замену переменных. Пусть u = 2−t, v = 4y. Причём u > 0 и v > 0. Тогда система примет вид

Сделаем ещё одну замену переменных, учитывая, что
Пусть a = u + v, а b = uv, тогда получим




Первая система совокупности решений не имеет так как a > 0, b > 0. Решим вторую систему, вернувшись к переменным u и v. Имеем:

Наконец, вернемся к исходным переменным

Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: 
Задание парного варианта: 2687