PDF-версии: 
Решите неравенство 
Решение. I способ. Введем вспомогательную функцию
Эта функция определена на ℝ и всюду непрерывна, поскольку 
Так как 
причем, знак равенства имеет место только при x ± 2, то
Таким образом, множество значений функции (1) есть отрезок 
при этом максимальное и минимальное значения 
принимаются соответственно при 
Следовательно, 
определен только на 
а 
при 
Вместо исходного неравенства решаем неравенство
Используем формулу, выражающую 
через функцию от 
Поскольку 
получаем
Введя замену 
получаем неравенство 
решая которое методом интервалов (см. рис.), получаем 
т. е.
Отсюда, с учетом интервала, на котором решается неравенство (2), получаем
Решим уравнение (3) для исходной переменной:
Для двойного неравенства (4) получаем
Неравенство (5) выполняется только при x = 0. Поскольку, как было сказано выше, функция (1) принимает максимальное значение 
в единственной точке x = 2, неравенства (5), (6) выполняются на множестве [0; 2) ∪ (2; ∞).
Ответ: 
Замечание. Неравенство (2) можно решить также с помощью преобразования его левой части к однородной тригонометрической функции третьего порядка (см. замечание 2 в решении аналогичной задачи варианта I).
II способ. По-прежнему будем рассматривать функцию (1) (см. I способ).
Рассмотрим уравнение 
Так как 
то 
откуда
Так как 
то уравнение (1) является квадратным при 
Его дискриминант
дискриминант неотрицателен только при m = 0, тогда уравнение (1) принимает вид:
Рассмотрим неравенство 
где 
a) Решим 
так как то 
откуда
Так как 
при 
неравенство (2) является квадратным, его дискриминант
Если k = 0, неравенство (2) принимает вид 
и выполняется при всех 
Если 
неравенство (2) выполняется при всех x. Если 
неравенство (2) не имеет решений.
б) Рассмотрим 
откуда 
Если 
то 
если 
то 
— это выражение отрицательно при целых k; при 
неравенство (2) не имеет решений, при 
неравенство (2) выполняется при всех x.
Таким образом, двойное неравенство
где 
имеет решения только при k = 0. Эти решения будут 
Ответ:
Такой способ решения, конечно, весьма трудоемкий, но вполне возможный.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |