Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2643
i

При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра p урав­не­ние \log _x минус p левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x в квад­ра­те минус x плюс p в квад­ра­те минус p пра­вая круг­лая скоб­ка =2 имеет един­ствен­ный ко­рень?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Имеем:

\log _x минус p левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x в квад­ра­те минус x плюс p в квад­ра­те минус p пра­вая круг­лая скоб­ка =2 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 3x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус x плюс p в квад­ра­те минус p = левая круг­лая скоб­ка x минус p пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ,x минус p боль­ше 0, x минус p не равно 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 3x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус x плюс p в квад­ра­те минус p=x в квад­ра­те минус 2px плюс p в квад­ра­те ,x минус p боль­ше 0, x минус p не равно 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но

рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби x в квад­ра­те минус x левая круг­лая скоб­ка 2p минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс p=0,x минус p боль­ше 0, x минус p не равно 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те минус 4x левая круг­лая скоб­ка 2p минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4p=0,\qquad левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x минус p боль­ше 0, x минус p не равно 1. конец си­сте­мы .

Ис­ход­ное урав­не­ние будет иметь един­ствен­ный ко­рень толь­ко в двух слу­ча­ях.

Пер­вый слу­чай: когда урав­не­ние (1) имеет ровно один ко­рень, и он удо­вле­тво­ря­ет си­сте­ме. Если урав­не­ние (1) имеет един­ствен­ный ко­рень x_0, то x_0=2 левая круг­лая скоб­ка 2p минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка   — это сле­ду­ет из тео­ре­мы Виета,  — и при этом

дробь: чис­ли­тель: D, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =4 левая круг­лая скоб­ка 2p минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4p=0.

дробь: чис­ли­тель: D, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =0: 4p в квад­ра­те минус 5p плюс 1=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний p=1,p= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

При p=1: x_0=2 и x_0 минус p=1, то есть не удо­вле­тво­ря­ет си­сте­ма; при p= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби : x_0= минус 1 и x_0 минус p мень­ше 0, зна­чит, вто­рое зна­че­ние тоже не удо­вле­тво­ря­ет си­сте­ме.

Вто­рой слу­чай: когда урав­не­ние (1) имеет два корня, но ровно один из них не удо­вле­тво­ря­ет си­сте­ме. Рас­смот­рим сна­ча­ла слу­чай, когда для од­но­го из кор­ней x_1 урав­не­ние (1) на­ру­ша­ет­ся тре­тье со­от­но­ше­ние си­сте­ме, то есть x_1=p плюс 1. Под­ста­вим x_1 в урав­не­ние (1):

p в квад­ра­те плюс 2p плюс 1 минус 4 левая круг­лая скоб­ка p плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2p минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4p=0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но p в квад­ра­те плюс 2p плюс 1 минус 8p в квад­ра­те минус 4p плюс 4 плюс 4p=0 рав­но­силь­но 7p в квад­ра­те минус 2p минус 5=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний p_1=1,p_2= минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Зна­че­ние p=1 уже рас­смот­ре­но выше. При p= минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби : x_1=p плюс 1= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби . По тео­ре­ме Виета для урав­не­ния (1) x_2 умно­жить на x_1=4p= минус дробь: чис­ли­тель: 20, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби , от­ку­да x_2= минус 10, и этот ко­рень тоже не удо­вле­тво­ря­ет си­сте­ме: x_2 минус p= минус 10 плюс дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби мень­ше 0. Таким об­ра­зом, при p= минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби кор­ней нет. Пусть те­перь ни­ка­кой из кор­ней урав­не­ния (1) не равен p плюс 1 (то есть для каж­до­го корня вы­пол­ня­ет­ся тре­тье со­от­но­ше­ние си­сте­мы: x минус p не равно 1). Рас­смот­рим квад­рат­ный трех­член f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в квад­ра­те минус 4x левая круг­лая скоб­ка 2p минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4p и най­дем, при каких p число p лежит между кор­ня­ми, то есть x_1 боль­ше p боль­ше x_2, толь­ко для од­но­го корня вы­пол­ня­ет­ся вто­рое со­от­но­ше­ние си­сте­мы: x минус p боль­ше 0. Для этого не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы f левая круг­лая скоб­ка p пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, то есть

p в квад­ра­те минус 4p левая круг­лая скоб­ка 2p минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4p мень­ше 0 рав­но­силь­но минус 7p в квад­ра­те плюс 8p мень­ше 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний p мень­ше 0,p боль­ше дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

И, на­ко­нец, если x минус p=0, то есть один из кор­ней равен p  — это будет, если p=0 или p= дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби . При p=0 урав­не­ние (1) при­ни­ма­ет вид

x в квад­ра­те плюс 4x=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x_1=0,x_2= минус 4, конец со­во­куп­но­сти .

вто­рой ко­рень не удо­вле­тво­ря­ет си­сте­ме. При p= дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби : x_1= дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби и x_2=4  — удо­вле­тво­ря­ет си­сте­ме.

Под­во­дя итоги ис­сле­до­ва­ния и вспо­ми­ная осо­бые зна­че­ния па­ра­мет­ра p, рас­смот­рен­ные выше левая круг­лая скоб­ка 1; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ; 0; дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , по­лу­ча­ем ответ.

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ;0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Обо­зна­чим x минус p=t, тогда x=t плюс p, и ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию t левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 левая круг­лая скоб­ка t плюс p пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус t плюс p в квад­ра­те минус 2p пра­вая круг­лая скоб­ка =2. \qquad левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка

Оче­вид­но, что это урав­не­ние имеет столь­ко же кор­ней, сколь­ко и ис­ход­ное урав­не­ние. Урав­не­ние (2) рав­но­силь­но си­сте­ме

си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 3 левая круг­лая скоб­ка t плюс p пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус t плюс p в квад­ра­те минус 2p=t в квад­ра­те ,t боль­ше 0, t не равно 1. конец си­сте­мы .

Си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние, когда урав­не­ние

3 левая круг­лая скоб­ка t плюс p пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4t плюс 4p в квад­ра­те минус 8p=4t в квад­ра­те рав­но­силь­но t в квад­ра­те плюс t левая круг­лая скоб­ка 4 минус 6p пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 8p минус 7p в квад­ра­те =0 \qquad левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка

имеет един­ствен­ный по­ло­жи­тель­ный, не рав­ный 1 ко­рень.

Для того, чтобы ровно один ко­рень урав­не­ния (3) был по­ло­жи­тель­ным, до­ста­точ­но, чтобы 8p минус 7p в квад­ра­те мень­ше 0, то есть p при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

При p=0: t в квад­ра­те плюс 4t=0 не имеет по­ло­жи­тель­ных кор­ней; при p= дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби урав­не­ние t в квад­ра­те плюс t левая круг­лая скоб­ка 4 минус дробь: чис­ли­тель: 48, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0 имеет ровно один по­ло­жи­тель­ный ко­рень t= целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 7 не равно 1. Таким об­ра­зом, p при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

На­ко­нец, если ко­рень един­стве­нен, то

D=0: левая круг­лая скоб­ка 2 минус 3p пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 8p плюс 7p в квад­ра­те =0 рав­но­силь­но 4p в квад­ра­те минус 5p плюс 1=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний p=1,p= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

При p=1: t=3p минус 2=1 не удо­вле­тво­ря­ет си­сте­ме; при p= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби : t= минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби не удо­вле­тво­ря­ет си­сте­ме. Таким об­ра­зом, един­ствен­ный по­ло­жи­тель­ный ко­рень урав­не­ние (3) имеет толь­ко при p при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ис­клю­чим то зна­че­ние p, при ко­то­ром этот ко­рень равен 1, то есть

1 в квад­ра­те плюс 1 левая круг­лая скоб­ка 4 минус 6p пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 8p минус 7p в квад­ра­те =0 рав­но­силь­но 7p в квад­ра­те минус 2p минус 5=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний p=1,p= минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби конец со­во­куп­но­сти .

(при этих зна­че­ни­ях p си­сте­ма не имеет ре­ше­ний).

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ;0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2637

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1994 год, ра­бо­та 4, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 10 из 10
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025