PDF-версии: 
При каких значениях параметра p уравнение 
имеет единственный корень?
Решение. Имеем:
Исходное уравнение будет иметь единственный корень только в двух случаях.
Первый случай: когда уравнение (1) имеет ровно один корень, и он удовлетворяет системе. Если уравнение (1) имеет единственный корень 
то 
— это следует из теоремы Виета, — и при этом
При 
и 
то есть не удовлетворяет система; при 
и 
значит, второе значение тоже не удовлетворяет системе.
Второй случай: когда уравнение (1) имеет два корня, но ровно один из них не удовлетворяет системе. Рассмотрим сначала случай, когда для одного из корней 
уравнение (1) нарушается третье соотношение системе, то есть 
Подставим в уравнение (1):
Значение 
уже рассмотрено выше. При 
По теореме Виета для уравнения (1) 
откуда 
и этот корень тоже не удовлетворяет системе: 
Таким образом, при 
корней нет. Пусть теперь никакой из корней уравнения (1) не равен 
(то есть для каждого корня выполняется третье соотношение системы: 
). Рассмотрим квадратный трехчлен 
и найдем, при каких p число p лежит между корнями, то есть 
только для одного корня выполняется второе соотношение системы: 
Для этого необходимо и достаточно, чтобы 
то есть
И, наконец, если 
то есть один из корней равен p — это будет, если 
или 
При p=0 уравнение (1) принимает вид
и 
— удовлетворяет системе.Подводя итоги исследования и вспоминая особые значения параметра p, рассмотренные выше 
получаем ответ.
Ответ: 
Приведем другое решение.
Обозначим 
тогда 
и исходное уравнение принимает вид
Очевидно, что это уравнение имеет столько же корней, сколько и исходное уравнение. Уравнение (2) равносильно системе
Система имеет единственное решение, когда уравнение
Для того, чтобы ровно один корень уравнения (3) был положительным, достаточно, чтобы 
то есть 
При 
не имеет положительных корней; при 
уравнение 
имеет ровно один положительный корень 
Таким образом, 
Наконец, если корень единственен, то
При 
не удовлетворяет системе; при 
не удовлетворяет системе. Таким образом, единственный положительный корень уравнение (3) имеет только при
Исключим то значение p, при котором этот корень равен 1, то есть
Ответ:
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |