Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2630
i

До­ка­жи­те, что для всех по­ло­жи­тель­ных зна­че­ний x  на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

На­пи­шем урав­не­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =\ln левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та плюс 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка , па­рал­лель­ной или сов­па­да­ю­щей с пря­мой y=x минус 0,25

f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та плюс 0,5 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та плюс 2x конец дроби ;

f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0:  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та плюс 2x конец дроби =1 рав­но­силь­но 2x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та =1 рав­но­силь­но 2x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та минус 1=0 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Таким об­ра­зом, ис­ко­мая ка­са­тель­ная про­хо­дит через точку гра­фи­ка функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка с абс­цис­сой x_0=0,25, ор­ди­на­той  y_0=f левая круг­лая скоб­ка 0,25 пра­вая круг­лая скоб­ка = на­ту­раль­ный ло­га­рифм 1=0. Урав­не­ние ка­са­тель­ной: y=x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Ока­за­лось, что ка­са­тель­ная сов­па­да­ет с пря­мой y=x минус 0,25. Най­дем вто­рую про­из­вод­ную функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка :

f'' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс 2, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та плюс 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби .

Не­труд­но ви­деть, что при x боль­ше 0: f'' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, от­ку­да сле­ду­ет, что гра­фик функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка всюду вы­пук­лый (при x боль­ше 0). Точ­нее, о всюду вы­пук­лый «вверх», то есть лежит под любой своей ка­са­тель­ной y=x минус 0,25, то есть

\ln левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та плюс 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно x минус 0,25,

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.
Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2624

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1994 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 2
? Классификатор: До­ка­за­тель­ство тож­деств, не­ра­венств
?
Сложность: 9 из 10