№ 2624 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 4. Логарифмические неравенства
i
Докажите, что для всех отрицательных значений x 
Решение. Рассмотрим функцию
На множестве 
она определена и дифференцируема (остальные x из области определения D(f) нас не интересуют по условию задачи). Имеем:
Исследуем знаки производной на промежутке 
На этом промежутке производная определена, непрерывна и меняет знак в точке 
(см. рисунок). Получаем:
Таким образом, функция
возрастает на промежутке
и убывает на промежутке
и в точке
на промежутке
достигает своего наибольшего значения. Мы показали, что при
Посчитаем значение
имеем
Таким образом, при 
а следовательно, по свойству транзитивности неравенств все значения функции при отрицательных x удовлетворяют неравенству 
что и требовалось доказать.
Приведем другое доказательство.
Используем известное неравенство, при 
Имеем:
так как
при
Действительно,
при
Таким образом, для
Теперь сравним для 
получаем
так как числитель положителен для любого
x, а знаменатель отрицателен при
Следовательно?
Из свойства транзитивности неравенств следует, что при 
а из этого тем более
что и требовалось доказать.
Замечание.
Думаем, что ученику математического класса полезно знать использовавшееся выше неравенство: при Это одно из замечательных неравенств математического анализа, рассмотрение и доказательство которых в классе весьма поучительно. Укажем еще некоторые из этих замечательных неравенств:
1) при 
2) для 
3) при 
и 
4) при 
5) 
6) при 
для 
(это неравенство является источником для вывода ряда классических неравенств).
Все эти неравенства легко доказываются с помощью производной аналогично тому, как это делалось выше при рассмотрении первого способа решения.
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Задание парного варианта: 2630
