Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2624

Докажите, что для всех отрицательных значений x \ln дробь: числитель: 2x минус 3, знаменатель: x минус 7 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 11 конец дроби меньше или равно 0.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим функцию

f(x)=\ln дробь: числитель: 2x минус 3, знаменатель: x минус 7 конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 11 конец дроби .

На множестве ( минус принадлежит fty; 0 ) она определена и дифференцируема (остальные x из области определения D(f) нас не интересуют по условию задачи). Имеем:

f'(x)= дробь: числитель: x минус 7, знаменатель: 2x минус 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2(x минус 7) минус (2x минус 3), знаменатель: (x минус 7) в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 11 конец дроби = дробь: числитель: минус 11, знаменатель: (2x минус 3)(x минус 7) конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 11 конец дроби = дробь: числитель: 2x в квадрате минус 17x минус 100, знаменатель: 11(2x минус 3)(x минус 7) конец дроби = дробь: числитель: (2x минус 25)(x плюс 4), знаменатель: 11(2x минус 3)(x минус 7) конец дроби .

Исследуем знаки производной на промежутке ( минус принадлежит fty ; 0). На этом промежутке производная определена, непрерывна и меняет знак в точке x= минус 4 (см. рисунок). Получаем:

f'( минус 5) больше 0, f'( минус 2) меньше 0.

Таким образом, функция f(x) возрастает на промежутке ( минус принадлежит fty; минус 4] и убывает на промежутке [ минус 4; 0) и в точке x= минус 4 на промежутке ( минус принадлежит fty ; 0) достигает своего наибольшего значения. Мы показали, что при x принадлежит ( минус принадлежит fty ;0): f(x) меньше или равно f( минус 4). Посчитаем значение f( минус 4), имеем

f( минус 4)=\ln дробь: числитель: 2( минус 4) минус 3, знаменатель: ( минус 4) минус 7 конец дроби плюс дробь: числитель: ( минус 4), знаменатель: 11 конец дроби = минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 11 конец дроби .

Таким образом, при x принадлежит ( минус принадлежит fty ;0): f(x) меньше или равно минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 11 конец дроби , а следовательно, по свойству транзитивности неравенств все значения функции f(x) при отрицательных x удовлетворяют неравенству f(x) меньше или равно 0, что и требовалось доказать.

 

Приведем другое доказательство.

Используем известное неравенство, при t больше минус 1: \ln(1 плюс t) меньше или равно t. Имеем:

\ln левая круглая скобка дробь: числитель: 2x минус 3, знаменатель: x минус 7 конец дроби правая круглая скобка =\ln левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: x минус 7 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: x минус 7 конец дроби ,

так как  дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: x минус 7 конец дроби больше минус 1 при x принадлежит ( минус принадлежит fty ;0). Действительно,

 дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: x минус 7 конец дроби минус ( минус 1)= дробь: числитель: 2x минус 3, знаменатель: x минус 7 конец дроби больше 0,

при x принадлежит ( минус принадлежит fty ;0). Таким образом, для x принадлежит ( минус принадлежит fty ;0):

\ln левая круглая скобка дробь: числитель: 2x минус 3, знаменатель: x минус 7 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: x минус 7 конец дроби .

Теперь сравним для x принадлежит ( минус принадлежит fty ;0), получаем

 дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: x минус 7 конец дроби минус ( минус дробь: числитель: x, знаменатель: 11 конец дроби )= дробь: числитель: 11x плюс 44 плюс x в квадрате минус 7x, знаменатель: 11(x минус 7) конец дроби = дробь: числитель: x в квадрате плюс 4x плюс 44, знаменатель: 11(x минус 7) конец дроби меньше 0,

так как числитель положителен для любого x, а знаменатель отрицателен при x меньше 0. Следовательно?  дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: x минус 7 конец дроби меньше минус дробь: числитель: x, знаменатель: 11 конец дроби .

Из свойства транзитивности неравенств следует, что при x меньше 0:

\ln( дробь: числитель: 2x минус 3, знаменатель: x минус 7 конец дроби ) меньше минус дробь: числитель: x, знаменатель: 11 конец дроби равносильно \ln левая круглая скобка дробь: числитель: 2x минус 3, знаменатель: x минус 7 конец дроби правая круглая скобка плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 11 конец дроби меньше 0,

а из этого тем более \ln левая круглая скобка дробь: числитель: 2x минус 3, знаменатель: x минус 7 конец дроби правая круглая скобка плюс дробь: числитель: x, знаменатель: 11 конец дроби меньше или равно 0, что и требовалось доказать.

 

Замечание.

Думаем, что ученику математического класса полезно знать использовавшееся выше неравенство: при t больше минус 1: \ln(1 плюс t) меньше или равно t. Это одно из замечательных неравенств математического анализа, рассмотрение и доказательство которых в классе весьма поучительно. Укажем еще некоторые из этих замечательных неравенств:

1) при x больше 0:  синус x меньше x;

2) для 0 меньше x меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби : x больше синус x больше дробь: числитель: 2, знаменатель: Пи конец дроби x;

3) при x больше 0:  косинус x больше 1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате и  синус x больше x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби x в кубе ;

4) при 0 меньше x меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби :  тангенс x больше x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе ;

5) e в степени x больше или равно 1 плюс x, x принадлежит R ;

6) при 0 меньше или равно альфа меньше 1 для x больше 0: x в степени ( альфа ) минус альфа x меньше или равно 1 минус альфа (это неравенство является источником для вывода ряда классических неравенств).

Все эти неравенства легко доказываются с помощью производной аналогично тому, как это делалось выше при рассмотрении первого способа решения.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2630

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1994 год, работа 3, вариант 1
? Классификатор: Доказательство тождеств, неравенств
?
Сложность: 9 из 10