Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2623

График функции y=2 минус корень из (2x плюс 2) пересекают ось абсцисс в точке K, а касательная к графику пересекает ось абсцисс в точке C. Напишите уравнение этой касательной, если начало координат является серединой отрезка KC.

Спрятать решение

Решение.

Найдем координаты точки K. Для этого решим уравнение

2 минус корень из (2x плюс 2) =0 равносильно x=1,

получаем координаты точки K(1;0). Тогда точка C имеет координаты: C( минус 1;0).

Данная функция определена при x больше или равно минус 1 и дифференцируема при x больше минус 1. Напишем уравнение касательной к графику функции y=2 минус корень из (2x плюс 2) в точке графика с абсциссой t (t больше минус 1):

y'(x)= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (2x плюс 2) конец дроби     или     y'(t)= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (2t плюс 2) конец дроби .

Уравнение касательной:

y= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (2t плюс 2) конец дроби (x минус t) плюс 2 минус корень из (2t плюс 2) .

Касательная пройдет через точек C( минус 1;0), если

0= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (2t плюс 2) конец дроби ( минус 1 минус t) плюс 2 минус корень из (2t плюс 2) .

Это уравнение при t больше минус 1 равносильно уравнению

1 плюс t плюс 2 корень из (2t плюс 2) минус 2t минус 2=0 равносильно 2 корень из (2t плюс 2) =t плюс 1 равносильно 8(t плюс 1)=(t плюс 1) в квадрате \undersett больше минус 1\mathop равносильно t плюс 1=8 равносильно t=7.

Уравнение касательной имеет вид:

y= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (16) конец дроби (x минус 7) плюс 2 минус корень из (16) равносильно y= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби x плюс дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 минус 4 равносильно y= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .

 

Ответ: y= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2629

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1994 год, работа 3, вариант 1
? Классификатор: Касательная к графику функции
?
Сложность: 8 из 10