Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2620
i

Среди ком­плекс­ных чисел z не равно 0 с ар­гу­мен­том  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби най­ди­те все такие, для ко­то­рых z в кубе минус 8z  — дей­стви­тель­ное число.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть z=r левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс i синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , при­чем  левая круг­лая скоб­ка r боль­ше 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , тогда z в кубе =r в кубе левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс i синус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . Мни­мая часть числа z в кубе равна r в кубе синус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , то есть r в кубе дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , мни­мая часть числа  левая круг­лая скоб­ка минус 8z пра­вая круг­лая скоб­ка равна  минус 4r ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . Для того чтобы z в кубе минус 8z было дей­стви­тель­ным чис­лом, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы

r в кубе дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 4r ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та =0 рав­но­силь­но r в квад­ра­те =8 рав­но­силь­но r=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ,

тогда по­лу­ча­ем

z=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби i пра­вая круг­лая скоб­ка =2 плюс 2i.

 

Ответ: 2 плюс 2i.

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние

Пусть z=a плюс bi, тогда

z в кубе =a в кубе минус 3ab в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 3a в квад­ра­те b минус b в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка i.

Для того, чтобы z в кубе минус 8z было дей­стви­тель­ным чис­лом, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы

3a в квад­ра­те b минус b в кубе минус 8b=0,

то есть либо b=0, либо 3a в квад­ра­те минус b в квад­ра­те минус 8=0. Если b=0, то ар­гу­мент z не равен  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Пусть те­перь 3a в квад­ра­те минус b в квад­ра­те минус 8=0. Ис­поль­зу­ем усло­вие за­да­чи: ар­гу­мент z равен  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . В этом слу­чае a=b и a боль­ше 0, то есть

3a в квад­ра­те минус a в квад­ра­те минус 8 рав­но­силь­но a=2.

Тогда z=2 плюс 2i.

 

Ответ: 2 плюс 2i.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2626

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1994 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Дей­ствия над ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми
?
Сложность: 5 из 10