Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2620

Среди комплексных чисел z не равно 0 с аргументом  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби найдите все такие, для которых z в кубе минус 8z — действительное число.

Спрятать решение

Решение.

Пусть z=r левая круглая скобка косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс i синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка , причем (r больше 0), тогда z в кубе =r в кубе левая круглая скобка косинус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс i синус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка . Мнимая часть числа z в кубе равна r в кубе синус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби , то есть r в кубе дробь: числитель: корень из (2) , знаменатель: 2 конец дроби , мнимая часть числа ( минус 8z) равна  минус 4r корень из (2) . Для того чтобы z в кубе минус 8z было действительным числом, необходимо и достаточно, чтобы

r в кубе дробь: числитель: корень из (2) , знаменатель: 2 конец дроби минус 4r корень из (2) =0 равносильно r в квадрате =8 равносильно r=2 корень из (2) ,

тогда получаем

z=2 корень из (2) левая круглая скобка дробь: числитель: корень из (2) , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: корень из (2) , знаменатель: 2 конец дроби i правая круглая скобка =2 плюс 2i.

 

Ответ: 2 плюс 2i.

 

Приведем другое решение

Пусть z=a плюс bi, тогда

z в кубе =a в кубе минус 3ab в квадрате плюс (3a в квадрате b минус b в кубе )i.

Для того, чтобы z в кубе минус 8z было действительным числом, необходимо и достаточно, чтобы

3a в квадрате b минус b в кубе минус 8b=0,

то есть либо b=0, либо 3a в квадрате минус b в квадрате минус 8=0. Если b=0, то аргумент z не равен  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . Пусть теперь 3a в квадрате минус b в квадрате минус 8=0. Используем условие задачи: аргумент z равен  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби . В этом случае a=b и a больше 0, то есть

3a в квадрате минус a в квадрате минус 8 равносильно a=2.

Тогда z=2 плюс 2i.

 

Ответ: 2 плюс 2i.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2626

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1994 год, работа 3, вариант 1
? Классификатор: Действия над комплексными числами
?
Сложность: 5 из 10